Tìm $m$ để phương trình $\sqrt {{x^2} + mx + 2}  = 2x + 1$ có 2 nghiệm phân biệt.

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + mx + 2}  = 2x + 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{2}\\{x^2} + mx + 2 = 4{x^2} + 4x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{2}\\3{x^2} - \left( {m - 4} \right)x - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}$

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} > {x_2} \ge  - \dfrac{1}{2}$.

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\{x_1} + {x_2} >  - 1\\\left( {{x_1} + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} + \dfrac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 4} \right)^2} + 12 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\dfrac{{m - 4}}{3} >  - 1\\ - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{m - 4}}{3} + \dfrac{1}{4} \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 4 >  - 3\\\dfrac{{m - 4}}{6} \ge \dfrac{1}{{12}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m - 4 \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \dfrac{9}{2}\end{array}$

Vậy $m \ge \dfrac{9}{2}$.