Tìm $m$ để phương trình $2x - 4 = 3\sqrt {x - m}$ có nghiệm.

ĐKXĐ: $x - m \ge 0 \Leftrightarrow x \ge m$.

Ta có:

$\begin{array}{l}2x - 4 = 3\sqrt {x - m} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\4{\left( {x - 2} \right)^2} = 9\left( {x - m} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\4{x^2} - 16x + 16 = 9x - 9m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\4{x^2} - 25x + 9m + 16 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}$

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm $x \ge 2$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta  = {25^2} - 4.4\left( {9m + 16} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 369 - 144m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{41}}{{16}}\end{array}$

Khi đó phương trình có 2 nghiệm $x = \dfrac{{25 \pm \sqrt {369 - 144m} }}{8}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{25 + \sqrt {369 - 144m} }}{8} \ge 2\\\dfrac{{25 - \sqrt {369 - 144m} }}{8} \ge 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {369 - 144m}  \ge  - 9\,\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\sqrt {369 - 144m}  \le 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 0 \le 369 - 144m \le 81\\ \Leftrightarrow 2 \le m \le \dfrac{{41}}{{16}}\end{array}$

Kết hợp điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ge m\end{array} \right.$ ta thấy $2 \le m \le \dfrac{{41}}{{16}}$ thỏa mãn.

Vậy $2 \le m \le \dfrac{{41}}{{16}}$.