Cho hàm số $y =  - {x^2} + 4x - 3$, có đồ thị $\left( P \right)$. Giả sử $d$ là dường thẳng đi qua $A\left( {0;\, - 3} \right)$ và có hệ số góc $k$. Xác định $k$ sao cho $d$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại $2$ điểm phân biệt $E$, $F$ sao cho $\Delta OEF$ vuông tại $O$ ($O$ là gốc tọa độ). Khi đó

Phương trình đường thẳng $d:y = kx - 3$

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$: $ - {x^2} + 4x - 3 = kx - 3$ $ \Leftrightarrow  - {x^2} + \left( {4 - k} \right)x = 0$ $ \Leftrightarrow x\left( { - x + 4 - k} \right) = 0$ $\,\left( 1 \right)$

$d$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại $2$ điểm phân biệt khi $\,\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt$ \Leftrightarrow 4 - k \ne 0$$ \Leftrightarrow k \ne 4$.

Ta có $E\left( {{x_1};\,k{x_1} - 3} \right)$, $F\left( {{x_2};\,k{x_2} - 3} \right)$ với ${x_1}$, ${x_2}$ là nghiệm phương trình $\left( 1 \right)$

$\Delta OEF$ vuông tại $O$$ \Rightarrow \overrightarrow {OE} .\overrightarrow {OF}  = 0$$ \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + \left( {k{x_1} - 3} \right)\left( {k{x_2} - 3} \right) = 0$$ \Leftrightarrow {x_1}.{x_2}\left( {1 + {k^2}} \right) - 3k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 = 0$$ \Leftrightarrow 0.\left( {1 + {k^2}} \right) - 3k\left( {4 - k} \right) + 9 = 0$

$ \Leftrightarrow {k^2} - 4k + 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = 3\end{array} \right.$