Cho phương trình \(m{x^2} + \left( {{m^2} - 3} \right)x + m = 0\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{13}}{4}\). Khi đó tổng bình phương các giá trị tìm được của tham số \(m\) bằng

Phương trình có \(2\) nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{13}}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  \ge 0\\ - \dfrac{b}{a} = \dfrac{{13}}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {{m^2} - 3} \right)^2} - 4{m^2} \ge 0\\ - \dfrac{{{m^2} - 3}}{m} = \dfrac{{13}}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {{m^2} - 3 - 2m} \right)\left( {{m^2} - 3 + 2m} \right) \ge 0\\4{m^2} + 13m - 12 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right)\left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) \ge 0\\m = \dfrac{3}{4};m =  - 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ { - 1;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\\m = \dfrac{3}{4};m =  - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{3}{4}\\m =  - 4\end{array} \right.\).

Vậy tổng bình phương các giá trị của \(m\) là \(\dfrac{{265}}{{16}}\).