Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình $\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2m\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 1 = 0$ có nghiệm là

Ta có $\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2m\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 1 = 0$\( \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} - 2m\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) - 1 = 0\) (1)

Đặt \(x + \dfrac{1}{x} = t\), \(\left| t \right| \ge 2\) ta được \({t^2} - 2mt - 1 = 0\) (2).

Phương trình (2) luôn có hai nghiệm \({t_1} < 0 < {t_2}\) (do \(a.c =  - 1 < 0\) )\( \Rightarrow \) phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có ít nhất một nghiệm \(t\) sao cho \(\left| t \right| \ge 2\), hay ít nhất một trong hai số \(2;\,\, - 2\) phải nằm giữa hai nghiệm \({t_1},\,\,{t_2};\) hay \(\left[ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) \le 0\\f\left( { - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - 4m \le 0\\3 + 4m \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{3}{4}\\m \le  - \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\).