Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \({x^2} - 4\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {m - 1} \right) = 0\) có \(4\) nghiệm phân biệt
Trả lời bởi giáo viên
Điều kiện xác định \(x \in \mathbb{R}\).
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \), \(t \ge 1\).
Phương trình trở thành \({t^2} - 1 - 4t - m + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {t^2} - 4t = m\). \(\left( 2 \right)\)
Để phương trình có \(4\) nghiệm phân biệt thì phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn \(1\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t\) có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh \(x = 2 \in \left( {1; + \infty } \right)\) nên ta có bảng biến thiên:
Dựa BBT ta thấy để $(2)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $1$ thì \( - 4 < m < - 3\).
Vậy không có giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hướng dẫn giải:
- Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \), tìm điều kiện của \(t\)
- Biến đổi phương trình về bậc hai ẩn \(t\) và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán (sử dụng phương pháp hàm số)