Biết phương trình \(3x + 1 - \sqrt {3{x^2} + 7x}  - \sqrt {3x - 1}  = 0\) có một nghiệm có dạng \(x = \dfrac{{a + \sqrt b }}{c}\), trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên tố. Tính \(S = a + b + c\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 7x \ge 0\\3x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}\;\left( * \right)\)

Với điều kiện trên, phương trình tương đương

\(\left[ {\left( {2x + 1} \right) - \sqrt {3{x^2} + 7x} } \right] + \left[ {x - \sqrt {3x - 1} } \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 3x + 1}}{{\left( {2x + 1} \right) + \sqrt {3{x^2} + 7x} }} + \dfrac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x + \sqrt {3x - 1} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{2x + 1 + \sqrt {3{x^2} + 7x} }} + \dfrac{1}{{x + \sqrt {3x - 1} }}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\) (do \(\left( * \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{2x + 1 + \sqrt {3{x^2} + 7x} }} + \dfrac{1}{{x + \sqrt {3x - 1} }} > 0\))

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc  \(x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)

Theo yêu cầu đề bài ta chọn nghiệm \(x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\)

Vậy \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 2\) \( \Rightarrow S = a + b + c = 10\).