Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta có : $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&1\\1&{ - m}\end{array}} \right| =  - {m^2} - 1\,\,\,;\,\,\,{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1}&1\\{2017}&{ - m}\end{array}} \right| =  - {m^2} - m - 2017\,\,\,;\,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{m + 1}\\1&{2017}\end{array}} \right| = 2016m - 1$

Vì $D = -m^2 – 1 \le -1 ≠ 0 $ nên hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của $m$

Ta có:  $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&1\\1&m\end{array}} \right| = {m^2} - 1$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow $ $D ≠ 0$ $ \Leftrightarrow $ ${m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1$

Ta có :

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{m - 5}\\2&{m - 1}\end{array}} \right| = 3\left( {m - 1} \right) - 2\left( {m - 5} \right) = m + 7\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}6&{m - 5}\\4&{m - 1}\end{array}} \right| = 6(m - 1) - 4(m - 5) = 2m + 14\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&6\\2&4\end{array}} \right| = 0\end{array}$

+) Nếu $D \ne 0 \Leftrightarrow m + 7 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 7$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{2m + 14}}{{m + 7}} = 2\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = 0\end{array} \right.$

+) Nếu $D = 0 \Leftrightarrow m =  - 7 \Rightarrow {D_x} = {D_y} = 0$ thì hệ phương trình có vô số nghiệm

Do đó: kết luận A, C, D đúng; B sai

Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0.\)

Đặt \(\dfrac{1}{{{x^2}}} = a;\,\,\dfrac{1}{{{y^2}}} = b\,\,\left( {a,b > 0} \right)\) khi đó hệ phương trình trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 3\\4a + 6b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 - 2b\\4\left( {3 - 2b} \right) + 6b = 10\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 - 2b\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right) \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} = 1\\\dfrac{1}{{{y^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình ban đầu có 4 nghiệm \(\left( { - 1;1} \right),\left( {1;1} \right);\left( {1; - 1} \right);\left( { - 1; - 1} \right).\)

Ta có: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - m}\\m&{ - 1}\end{array}} \right| = {m^2} - 1\,\,;\,\,{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - m}\\{m + 1}&{ - 1}\end{array}} \right| = m\left( {m + 1} \right)\,\,\,;\,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\m&{m + 1}\end{array}} \right| = m + 1$

Nếu $D = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1$

Với $m = 1 \Rightarrow {D_x} \ne 0$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

Với $ m = -1 \Rightarrow {D_x} = {D_y} = 0$ nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Với m = 0, hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 0\\y =  - \dfrac{2}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\y =  - \dfrac{2}{9}\end{array} \right.\).

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên m = 0 loại.

Với \(m \ne 0\).

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = m\\mx + y = m - \dfrac{2}{9}\end{array} \right.\) có vô số nghiệm

\( \Leftrightarrow \dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{{m - \dfrac{2}{9}}}{m} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{3}\\{m^2} = m - \dfrac{2}{9}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{2}{3}\\m = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}\) (tm).

Vậy \({m_0} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {m_0} \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 1\\x + y = \dfrac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 1\\3x + 3y = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 1\\7x = \dfrac{7}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2};\,\,\dfrac{1}{3}} \right).\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\x\sqrt 3  + y\sqrt 2  = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 6  - 3y = \sqrt 3 \\x\sqrt 6  + 2y = 5\sqrt 2 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 6  - 3y = \sqrt 3 \\ - 5y = \sqrt 3  - 5\sqrt 2 \end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{5}\\y = \dfrac{{5\sqrt 2  - \sqrt 3 }}{5}\end{array} \right.\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 1\\2x - 3y = 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x + 4y = 2\\6x - 9y = 6\sqrt 3 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{9 + 12\sqrt 3 }}{{39}}\\y = \dfrac{{2 - 6\sqrt 3 }}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 = 1\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x + y = 1\\3x + \sqrt 2 y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + \sqrt 2 y = \sqrt 2 \\3x + \sqrt 2 y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 2 \\3x + \sqrt 2 y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 2 \\y = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\left( {2 - \sqrt 2 ;3 - 2\sqrt 2 } \right).\)       

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}mx + \left( {m + 2} \right)y = 2\\x + my = m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - my\\mx + \left( {m + 2} \right)y = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - my\\m\left( {m - my} \right) + \left( {m + 2} \right)y = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - my\\\left( { - {m^2} + m + 2} \right)y + {m^2} - 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Để hệ có nghiệm \(\left( {x,y} \right)\) duy nhất \( \Leftrightarrow  - {m^2} + m + 2 \ne 0\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - my\\y = \dfrac{{2 - {m^2}}}{{ - {m^2} + m + 2}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m\left( {1 - y} \right)\\y = \dfrac{{2 - {m^2}}}{{ - {m^2} + m + 2}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow x + y = \dfrac{{{m^2}}}{{ - {m^2} + m + 2}} + \dfrac{{2 - {m^2}}}{{ - {m^2} + m + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{ - {m^2} + m + 2}} = \dfrac{{ - 2}}{{{m^2} - m - 2}}.\end{array}\)

Điều kiện $x \ne 1;y \ne 0$

Đặt $u = \dfrac{1}{{x - 1}};v = \dfrac{1}{y}$. Hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}2mu + 2v = 3\\mu + 6v = 4\end{array} \right.$

Ta có: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&2\\m&6\end{array}} \right| = 10m\,\,\,;\,\,\,{D_u} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\4&6\end{array}} \right| = 10\,\,\,;\,\,\,{D_v} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&3\\m&4\end{array}} \right| = 5m$

Với $m ≠ 0$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất $u = \dfrac{{{D_u}}}{D} = \dfrac{{10}}{{10m}} = \dfrac{1}{m};v = \dfrac{{{D_v}}}{D} = \dfrac{{5m}}{{10m}} = \dfrac{1}{2}$

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{1}{m}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = m\\y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 1\\y = 2\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}{m^2}x + (m + 4)y = 2\\m(x + y) = 1 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2}x + (m + 4)y = 2\\mx + (m + 1)y = 1\end{array} \right.$

Ta có: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}}&{m + 4}\\m&{m + 1}\end{array}} \right| = {m^3} - 4m = m\left( {{m^2} - 4} \right)$

${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{m + 4}\\1&{m + 1}\end{array}} \right| = 2(m + 1) - m - 4 = m - 2$

${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}}&2\\m&1\end{array}} \right| = {m^2} - 2m$

Nếu $D = 0 \Leftrightarrow m\left( {{m^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  \pm 2\end{array} \right.$

+) Với $ m = 0 \Rightarrow {D_x} \ne 0$ nên hệ phương trình vô nghiệm

+) Với  $ m = 2\Rightarrow {D_x} = {D_y} = 0$ nên hệ phương trình có vô số nghiệm

+) Với $ m = -2 \Rightarrow {D_x} \ne 0$ nên hệ phương trình vô nghiệm

Vậy với $m = 0 $ hoặc $m = -2$ thì hệ phương trình vô nghiệm

Ta có : $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1}&1\\1&{m - 1}\end{array}} \right| = {m^2} - 2m + 1 - 1 = {m^2} - 2m = m\left( {m - 2} \right)$

${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{3m - 4}&1\\m&{m - 1}\end{array}} \right| = \left( {3m - 4} \right)\left( {m - 1} \right) - m = 3{m^2} - 8m + 4 = \left( {m - 2} \right)\left( {3m - 2} \right)$

${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1}&{3m - 4}\\1&m\end{array}} \right| = {m^2} - m - 3m + 4 = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow m(m - 2) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{3m - 2}}{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{m - 2}}{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ $\left( 1 \right) \Leftrightarrow xm = 3m - 2 \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{{3 - x}}$

Thay vào (2) ta được: $y = 1 - \dfrac{2}{m} = 1 - \left( {3 - x} \right) = x - 2$

Vậy $y = x – 2$

Ta có :

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b}&{a - b}\\{{a^3} + {b^3}}&{{a^3} - {b^3}}\end{array}} \right| = \left( {a + b} \right)\left( {{a^3} - {b^3}} \right) - \left( {a - b} \right)\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) - \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} - {a^2} + ab - {b^2}} \right) = 2{\rm{a}}b\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{a - b}\\{2({a^2} + {b^2})}&{{a^3} - {b^3}}\end{array}} \right| = 2\left( {{a^3} - {b^3}} \right) - 2\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) - 2\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 2ab\left( {a - b} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b}&2\\{{a^3} + {b^3}}&{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}\end{array}} \right| = 2\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 2ab\left( {a + b} \right)\end{array}$

Với $a \ne  \pm b;a,b \ne 0 \Rightarrow D \ne 0$, hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{2ab(a - b)}}{{2ab(a - b)(a + b)}} = \dfrac{1}{{a + b}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{2ab(a + b)}}{{2ab(a - b)(a + b)}} = \dfrac{1}{{a - b}}\end{array} \right.$

Ta có : $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{m + 2}\\1&m\end{array}} \right| = {m^2} - m - 2$

${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{m + 2}\\{2m + 3}&m\end{array}} \right| = 5m - \left( {m + 2} \right)\left( {2m + 3} \right) =  - 2{m^2} - 2m - 6$

${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&5\\1&{2m + 3}\end{array}} \right| = 2{m^2} + 3m - 5$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $D ≠ 0$ $ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\m \ne 2\end{array} \right.$

Khi đó: $x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{ - 2\left( {{m^2} + m + 3} \right)}}{{{m^2} - m - 2}};y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{2{m^2} + 3m - 5}}{{{m^2} - m - 2}}$

Để hệ phương trình có nghiệm âm thì: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2\left( {{m^2} + m + 3} \right)}}{{{m^2} - m - 2}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{2{m^2} + 3m - 5}}{{{m^2} - m - 2}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$(1) \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} + m + 3}}{{{m^2} - m - 2}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 > 0$ (Vì ${m^2} + m + 3 = {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0,\forall m) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 2\end{array} \right.\,\,\,\,\left( * \right)$    

$(2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + 3m - 5 > 0\\{m^2} - m - 2 < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + 3m - 5 < 0\\{m^2} - m - 2 > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{5}{2}\\m > 1\end{array} \right.\\ - 1 < m < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{5}{2} < m < 1\\\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m < 2\\ - \dfrac{5}{2} < m <  - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {**} \right)$

Từ (*) và (**) suy ra $ - \dfrac{5}{2} < m <  - 1$

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}mx - \left( {m + 1} \right)y = 3m\\x - 2my = m + 2\end{array} \right.$

Ta có: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - \left( {m + 1} \right)}\\1&{ - 2m}\end{array}} \right| =  - 2{m^2} + m + 1 = \left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)$

$\begin{array}{l}{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{3m}&{ - \left( {m + 1} \right)}\\{m + 2}&{ - 2m}\end{array}} \right| =  - 6{m^2} + \left( {m + 2} \right)\left( {m + 1} \right) =  - 5{m^2} + 3m + 2 = \left( {5m + 2} \right)\left( {1 - m} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{3m}\\1&{m + 2}\end{array}} \right| = {m^2} + 2m - 3m = {m^2} - m = m\left( {m - 1} \right)\end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne  - \dfrac{1}{2}\\m \ne 1\end{array} \right.$

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{\left( {5m + 2} \right)\left( {1 - m} \right)}}{{\left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)}} = \dfrac{{5m + 2}}{{2m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{m\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)}} = \dfrac{{ - m}}{{2m + 1}}\end{array} \right.$

Thay giá trị của $x, y$ vào phương trình: $x + 2y = 4 $ ta được:

$\dfrac{{5m + 2}}{{2m + 1}} - \dfrac{{2m}}{{2m + 1}} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{3m + 2}}{{2m + 1}} = 4 \Leftrightarrow 3m + 2 = 8m + 4 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{2}{5}$

Ta có:

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\{m - 1}&{m - 1}\end{array}} \right| = {m^2} - m - 2m + 2 = {m^2} - 3m + 2 = \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\1&{m - 1}\end{array}} \right| = {m^2} - m - 2 = \left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&m\\{m - 1}&1\end{array}} \right| =  - {m^2} + 2m =  - m\left( {m - 2} \right)\end{array}$

Nếu $D \ne 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right. $ $\Rightarrow $ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} = 1 + \dfrac{2}{{m - 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{ - m}}{{m - 1}} =  - 1 - \dfrac{1}{{m - 1}}\end{array} \right.$

Để $x, y \in Z $ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{m - 1}} \in Z\\\dfrac{1}{{m - 1}} \in Z\end{array} \right.$ $\Rightarrow m -1 \in U(1) = \left\{ { \pm 1} \right\}$

+) Với $m – 1 = 1 \Rightarrow m = 2$ (loại)

+) Với $m – 1 = -1 \Rightarrow m = 0$ (thoả mãn)

Nếu $D = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.$

+) Với $m = 1\Rightarrow D_x ≠ 0$ suy ra hệ phương trình vô nghiệm 

+) Với $m = 2 \Rightarrow $$D = {D_x} = {D_y} = 0$ suy ra hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 2\\x + y = 1\end{array} \right.\) , khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Vậy $m = 0$ hoặc $m = 2$ thoả mãn bài toán.

Ta có: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&1\\6&b\end{array}} \right| = ab - 6\,\,\,;\,\,\,{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\4&b\end{array}} \right| = 2b - 4\,\,\,;\,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&2\\6&4\end{array}} \right| = 4a - 12$

Hệ phương trình vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}D = 0\\\left[ \begin{array}{l}{D_x} \ne 0\\{D_y} \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = 6\\\left[ \begin{array}{l}b \ne 2\\a \ne 3\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vì $6 = 1.6 = 6.1 = ( - 1).( - 6) = ( - 6).( - 1) = 2.3 = 3.2 = ( - 2).( - 3) = ( - 3).( - 2)$

Vậy có $7$ cặp $(a, b)$ thoả mãn đề bài.

Hệ: $\left\{ \begin{array}{l}m{\rm{x}} + (3m - 2)y + m - 3 = 0\\2x + (m + 1)y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m{\rm{x}} + (3m - 2)y = 3 - m\\2x + (m + 1)y = 4\end{array} \right.$

Ta có :

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{3m - 2}\\2&{m + 1}\end{array}} \right| = {m^2} - 5m + 4 = \left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - m}&{3m - 2}\\4&{m + 1}\end{array}} \right| = \left( {3 - m} \right)\left( {m + 1} \right) - 4\left( {3m - 2} \right) =  - m + 11 = \left( {1 - m} \right)\left( {m + 11} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{3 - m}\\2&4\end{array}} \right| = 4m - 6 + 2m = 6m - 6 = 6\left( {m - 1} \right)\end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 4\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{\left( {1 - m} \right)\left( {m + 11} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right)}} = \dfrac{{m + 11}}{{4 - m}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{6\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right)}} = \dfrac{6}{{m - 4}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {m - 4} \right)y = 6 \Leftrightarrow my = 6 + 4y \Leftrightarrow m = \dfrac{{6 + 4y}}{y} = \dfrac{6}{y} + 4$

Thay vào (1) ta được: $x = \left( {\dfrac{6}{y} + 4 + 11} \right):\left( {4 - \dfrac{6}{y} - 4} \right) =  - \dfrac{{6 + 15y}}{6} =  - 1 - \dfrac{{15}}{6}y$