Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}m{\rm{x}} + 2y = m\\(m - 1)x + (m - 1)y = 1\end{array} \right.$ có nghiệm nguyên thì giá trị của $m$ bằng:

Ta có:

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\{m - 1}&{m - 1}\end{array}} \right| = {m^2} - m - 2m + 2 = {m^2} - 3m + 2 = \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\1&{m - 1}\end{array}} \right| = {m^2} - m - 2 = \left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&m\\{m - 1}&1\end{array}} \right| =  - {m^2} + 2m =  - m\left( {m - 2} \right)\end{array}$

Nếu $D \ne 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right. $ $\Rightarrow $ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} = 1 + \dfrac{2}{{m - 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{ - m}}{{m - 1}} =  - 1 - \dfrac{1}{{m - 1}}\end{array} \right.$

Để $x, y \in Z $ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{m - 1}} \in Z\\\dfrac{1}{{m - 1}} \in Z\end{array} \right.$ $\Rightarrow m -1 \in U(1) = \left\{ { \pm 1} \right\}$

+) Với $m – 1 = 1 \Rightarrow m = 2$ (loại)

+) Với $m – 1 = -1 \Rightarrow m = 0$ (thoả mãn)

Nếu $D = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.$

+) Với $m = 1\Rightarrow D_x ≠ 0$ suy ra hệ phương trình vô nghiệm 

+) Với $m = 2 \Rightarrow $$D = {D_x} = {D_y} = 0$ suy ra hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 2\\x + y = 1\end{array} \right.\) , khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Vậy $m = 0$ hoặc $m = 2$ thoả mãn bài toán.