Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}m{\rm{x}} + (3m - 2)y + m - 3 = 0\\2x + (m + 1)y - 4 = 0\end{array} \right.$. Hệ thức liên hệ giữa $x$ và $y$ độc lập đối với tham số $m$ khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

Hệ: $\left\{ \begin{array}{l}m{\rm{x}} + (3m - 2)y + m - 3 = 0\\2x + (m + 1)y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m{\rm{x}} + (3m - 2)y = 3 - m\\2x + (m + 1)y = 4\end{array} \right.$

Ta có :

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{3m - 2}\\2&{m + 1}\end{array}} \right| = {m^2} - 5m + 4 = \left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - m}&{3m - 2}\\4&{m + 1}\end{array}} \right| = \left( {3 - m} \right)\left( {m + 1} \right) - 4\left( {3m - 2} \right) =  - m + 11 = \left( {1 - m} \right)\left( {m + 11} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{3 - m}\\2&4\end{array}} \right| = 4m - 6 + 2m = 6m - 6 = 6\left( {m - 1} \right)\end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 4\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{\left( {1 - m} \right)\left( {m + 11} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right)}} = \dfrac{{m + 11}}{{4 - m}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{6\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right)}} = \dfrac{6}{{m - 4}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {m - 4} \right)y = 6 \Leftrightarrow my = 6 + 4y \Leftrightarrow m = \dfrac{{6 + 4y}}{y} = \dfrac{6}{y} + 4$

Thay vào (1) ta được: $x = \left( {\dfrac{6}{y} + 4 + 11} \right):\left( {4 - \dfrac{6}{y} - 4} \right) =  - \dfrac{{6 + 15y}}{6} =  - 1 - \dfrac{{15}}{6}y$