Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}mx - \left( {m + 1} \right)y = 3m\\x - 2my = m + 2\\x + 2y = 4\end{array} \right.$.Để hệ phương trình có nghiệm giá trị thích hợp của tham số $m$ là:

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}mx - \left( {m + 1} \right)y = 3m\\x - 2my = m + 2\end{array} \right.$

Ta có: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - \left( {m + 1} \right)}\\1&{ - 2m}\end{array}} \right| =  - 2{m^2} + m + 1 = \left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)$

$\begin{array}{l}{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{3m}&{ - \left( {m + 1} \right)}\\{m + 2}&{ - 2m}\end{array}} \right| =  - 6{m^2} + \left( {m + 2} \right)\left( {m + 1} \right) =  - 5{m^2} + 3m + 2 = \left( {5m + 2} \right)\left( {1 - m} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{3m}\\1&{m + 2}\end{array}} \right| = {m^2} + 2m - 3m = {m^2} - m = m\left( {m - 1} \right)\end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne  - \dfrac{1}{2}\\m \ne 1\end{array} \right.$

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{\left( {5m + 2} \right)\left( {1 - m} \right)}}{{\left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)}} = \dfrac{{5m + 2}}{{2m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{m\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)}} = \dfrac{{ - m}}{{2m + 1}}\end{array} \right.$

Thay giá trị của $x, y$ vào phương trình: $x + 2y = 4 $ ta được:

$\dfrac{{5m + 2}}{{2m + 1}} - \dfrac{{2m}}{{2m + 1}} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{3m + 2}}{{2m + 1}} = 4 \Leftrightarrow 3m + 2 = 8m + 4 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{2}{5}$