Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}mx + (m + 2)y = 5\\x + my = 2m + 3\end{array} \right.$. Để hệ phương trình có duy nhất $1$ cặp nghiệm âm, giá trị cần tìm của tham số $m$ là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có : $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{m + 2}\\1&m\end{array}} \right| = {m^2} - m - 2$
${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{m + 2}\\{2m + 3}&m\end{array}} \right| = 5m - \left( {m + 2} \right)\left( {2m + 3} \right) = - 2{m^2} - 2m - 6$
${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&5\\1&{2m + 3}\end{array}} \right| = 2{m^2} + 3m - 5$
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $D ≠ 0$ $ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne - 1\\m \ne 2\end{array} \right.$
Khi đó: $x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{ - 2\left( {{m^2} + m + 3} \right)}}{{{m^2} - m - 2}};y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{2{m^2} + 3m - 5}}{{{m^2} - m - 2}}$
Để hệ phương trình có nghiệm âm thì: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2\left( {{m^2} + m + 3} \right)}}{{{m^2} - m - 2}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{2{m^2} + 3m - 5}}{{{m^2} - m - 2}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$
$(1) \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} + m + 3}}{{{m^2} - m - 2}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 > 0$ (Vì ${m^2} + m + 3 = {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0,\forall m) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 2\end{array} \right.\,\,\,\,\left( * \right)$
$(2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + 3m - 5 > 0\\{m^2} - m - 2 < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + 3m - 5 < 0\\{m^2} - m - 2 > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - \dfrac{5}{2}\\m > 1\end{array} \right.\\ - 1 < m < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{5}{2} < m < 1\\\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m < 2\\ - \dfrac{5}{2} < m < - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {**} \right)$
Từ (*) và (**) suy ra $ - \dfrac{5}{2} < m < - 1$
Hướng dẫn giải:
+ Tính các định thức : $D, D_x, D_y$
+ Xét điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $D ≠ 0$, khi đó $x = \dfrac{{{D_x}}}{D};y = \dfrac{{{D_y}}}{D}$
+ Giải hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y < 0\end{array} \right.$ ta tìm được $m$
Câu hỏi khác
- Bài tập đại cương về phương trình toán 10 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc ba, bậc bốn quy về bậc nhất, bậc hai toán 10 có lời giải
- Bài tập phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối toán 10 có lời giải
- Bài tập phương trình chứa căn toán 10 có lời giải
