Tích vô hướng của hai véc tơ

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a và AC là phân giác của góc BAD.

$\Rightarrow \angle BAC = {45^0} = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:

$\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\\A{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \end{array}$

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)$ $= a.a\sqrt 2 .\cos {45^0}$$= {a^2}\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ $= {a^2}$.

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Mà theo giả thiết $\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$, suy ra $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) =  - 1$ $\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^0}$

Đáp án A: đúng do $AH \bot BC$.

Đáp án B: đúng do $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AH} } \right) = {30^0}$ nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {HA} } \right) = {150^0}.$

Đáp án C: đúng do $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$ $= a.a.\cos {60^0} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$.

Đáp án D: Do $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)$ là góc ngoài của góc $\widehat C$ nên $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = {120^0}.$

Do đó $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = AC.CB.cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)$$= a.a.cos{120^0} =  - \dfrac{{{a^2}}}{2}$

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

$\bullet$ Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$ là góc $\widehat A$ nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {60^0}.$

Do đó $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$$= a.a.cos{60^0} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$ . A đúng.

$\bullet$ Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)$ là góc ngoài của góc $\widehat C$ nên $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = {120^0}.$

Do đó $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = AC.CB.cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)$$= a.a.cos{120^0} =  - \dfrac{{{a^2}}}{2}$ . B đúng.

$\bullet$ Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right)$ là góc $\widehat {AGB}$ nên $\left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right) = {120^0}.$

Do đó $\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB}  = GA.GB.cos\left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right)$$= \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.cos{120^0} =  - \dfrac{{{a^2}}}{6}$ . C sai.

$\bullet$ Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AG} } \right)$ là góc $\widehat {GAB}$ nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AG} } \right) = {30^0}.$

Do đó $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG}  = AB.AG.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AG} } \right)$$= a.\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.cos{30^0} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$. D đúng.

Ta có $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = BA.BC.cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ $= BA.BC.cos\widehat B = c.\sqrt {{b^2} + {c^2}} .\dfrac{c}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} = {c^2}$

Cách khác. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ suy ra $AB \bot AC$$\Rightarrow \,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0.$

Ta có $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA} .\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)$ $= {\overrightarrow {BA} ^2} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC}  = A{B^2} = {c^2}$

Ta có $C$ là trung điểm của $DE$ nên $DE = 2a.$

Khi đó $\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DE} } \right).\overrightarrow {AB}  = \underbrace {\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} }_0 + \overrightarrow {DE} .\overrightarrow {AB}$

$= DE.AB.\cos \left( {\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {AB} } \right) = DE.AB.\cos {0^0} = 2{a^2}.$

Ta có: $\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BA}$ $= \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BA} } \right) + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {BD}$ và $BD = a\sqrt 2$.

Khi đó $P = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).2\overrightarrow {BD}$$= 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD}  + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}$ $=  - 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}  + 0$

$=  - 2.BA.BD\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BD} } \right)$ $=  - 2.a.a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} =  - 2{a^2}$

Gọi $O = AC \cap BD$, giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ $\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC}$ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OB} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AO} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AC}$$= \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  + 0 = \dfrac{1}{2}A{C^2} = 32$

Ta có $AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {2{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 .$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BK}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {BA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \end{array} \right.$

$\Rightarrow \overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {BA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)$

      $= \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AD}$ $=  - {a^2} + 0 + 0 + \dfrac{1}{2}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 0$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\,\overrightarrow {AM} .$

Khi đó $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC}$ $= \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)$

$= \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right)$ $= \dfrac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \dfrac{{{b^2} - {c^2}}}{2}$

Từ giả thiết suy ra $AC = a\sqrt 2 .$

Ta có $P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA}  =  - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD}  - {\overrightarrow {AC} ^2}$

$=  - CA.CD\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} =  - a\sqrt 2 .a.\cos {45^0} - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} =  - 3{a^2}.$

Ta có $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = {45^0}$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos {45^0} = a.a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}.$

Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ là góc ngoài của góc $\widehat B$ nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {135^0}.$

Do đó $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = AB.BC.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ $= a.a\sqrt{2}.cos{135^0} =  - a^2$

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$$\Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}$

Ta có $\overrightarrow {MB} \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right) = 0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {MB} .3\overrightarrow {MG}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MG}  = 0$ $\Leftrightarrow MB \bot MG$ $\left( * \right)$

Biểu thức $\left( * \right)$ chứng tỏ $MB \bot MG$ hay $M$ nhìn đoạn $BG$ dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $BG.$

Ta có: ABCD là hình thoi có $\angle BAD = {60^0}$$\Rightarrow \angle ABC = {120^0}$ và tam giác ABD là tam giác đều.

$\Rightarrow AB = AD = BD = a.$

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BM}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BD} } \right)\\\overrightarrow {BN}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BC} } \right)\end{array} \right..$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BN}  = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + {{\overrightarrow {BD} }^2} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} } \right)\\ = \dfrac{1}{4}\left( {BA.BD.\cos ABD + BA.BC.\cos ABC + B{D^2} + BD.BC.\cos DBC} \right)\\ = \dfrac{1}{4}\left( {{a^2}.\cos {{60}^0} + {a^2}.\cos {{120}^0} + {a^2} + {a^2}.\cos {{60}^0}} \right)\\ = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{2} + {a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} \right) = \dfrac{{3{a^2}}}{8}.\end{array}$

Vì $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow 0$ suy ra $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {0^0}$

Do đó $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos {0^{\rm{o}}} = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$ nên chọn A.

Phương án A:$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB}$ ngược hướng suy ra $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB}  = MA.AB.\cos {180^{\rm{o}}} =  - MA.AB$ nên loại A.

Phương án B:$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB}$ ngược hướng suy ra  $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = MA.MB.\cos {180^{\rm{o}}} =  - MA.MB$ nên loại B.

Phương án C: $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB}$ cùng hướng suy ra $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB}  = AM.AB.\cos {0^{\rm{o}}} = AM.AB$ nên loại C.

Phương án D:$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB}$ ngược hướng suy ra $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = MA.MB.\;\cos {180^{\rm{o}}} =  - MA.MB$ nên chọn D.

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$ $\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$ $\Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) =  - 1$ nên $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược  hướng.

Ta có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HB} } \right).\overrightarrow {BC}$$= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}$ $= \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}  = HB.BC.\cos \left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ $= \dfrac{2}{3}BC.BC.\cos \left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ $= \dfrac{2}{3}.6.6.\cos {180^0} =  - 24$

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.

Phương án  A:$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC\cos {60^{\rm{o}}} = 2 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BC}$ nên loại A.

Phương án B:$\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}  = BC.AC\cos {120^{\rm{o}}} =  - 2$ nên loại B.

Phương án C:$\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  = 4$ nên chọn C.

Phương án D: $\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BA} = \left( { - \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BA} = B{A^2} = 4$ nên loại D.