Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính \(P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right).\)
Trả lời bởi giáo viên
Từ giả thiết suy ra \(AC = a\sqrt 2 .\)
Ta có \(P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} - {\overrightarrow {AC} ^2}\)
\( = - CA.CD\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} = - a\sqrt 2 .a.\cos {45^0} - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = - 3{a^2}.\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng tính chất \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c \).