Tổng hợp câu hay và khó chương 1

Ký hiệu A là tập hợp những ngày mưa, B là tập hợp những ngày có gió, C là tập hợp những ngày lạnh.

Theo giả thiết ta có:$n\left( A \right) = 10,{\rm{ }}n\left( B \right) = 8$ , $n\left( C \right) = 6,$

$n(A \cap B) = {\rm{ }}5,{\rm{ }}n(A \cap C) = 4,{\rm{ }}n(B \cap C) = 3,\,\,n(A \cap B \cap C) = 1$

Để tìm số ngày thời tiết xấu ta sử dụng biểu đồ Ven(hình vẽ). Ta cần tính $n(A \cup B \cup C)$.

Xét tổng $n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right)$: trong tổng này, mỗi phần tử của A giao B, B giao C, C giao A được tính làm hai lần nên trong tổng $n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right)$ ta phải trừ đi tổng $n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)$.

Trong tổng $n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right)$ được tính $n\left( {A \cap B \cap C} \right)$ 3 lần, trong $n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)$ cũng được tính $n\left( {A \cap B \cap C} \right)$ 3 lần. Vì vậy 

$\begin{array}{l}n(A \cup B \cup C) = n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right) \\- n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) \\+ n\left( {A \cap B \cap C} \right)\\ = 10 + 8 + 6 - (5 + 4 + 3) + 1 = 13.\end{array}$ 

Vậy số ngày thời tiết xấu là $13$ ngày.     

Theo giả thiết đề bài cho, ta có biểu đồ Ven:

Dựa vào biểu đồ Ven ta thấy:

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Lý (không giỏi Hóa) là: $6 - 3 = 3$ (em)

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Hóa (không giỏi Lý) là: $4 - 3 = 1$ (em)

Số học sinh chỉ giỏi Lý và Hóa (không giỏi Toán) là: $5 - 3 = 2$ (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là: $10 - 3 - 3 - 1 = 3$ (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Lý là: $10 - 3 - 3 - 2 = 2$ (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Hóa là: $11 - 1 - 3 - 2 = 5$ (em)

Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn là:

$3 + 2 + 5 + 1 + 2 + 3 + 3 = 19$ (em)

Để $A \cap B \ne \emptyset$ thì điều kiện là $\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le \dfrac{{m + 3}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m - 1 <  - 3\\\dfrac{{m + 3}}{2} \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 5\\\left[ \begin{array}{l}m <  - 2\\m \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m \le 5\\m <  - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \le 5\\m \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 2\\3 \le m \le 5\end{array} \right.$.

Vậy $m \in \left( { - \infty  - 2} \right) \cup \left[ {3;5} \right]$

Minh họa bằng trục số

Ta có: $C_{\mathbb{R}}A = \left[ {m;\, + \infty } \right)$.

Để $C_{\mathbb{R}}A \cap B \ne \emptyset  \Leftrightarrow 2m + 2 \ge m \Leftrightarrow m \ge  - 2$.

+ Xét đáp án A. Khi $n = 3$ thì giá trị của $\left( {{n^2} + 11n + 2} \right)$ bằng $44 \vdots 11$ nên đáp án A đúng

+ Xét đáp án B. Khi $n = 2k,\,k \in N \Rightarrow {n^2} + 1 = 4{k^2} + 1$ không chia hết cho $4$, $k \in N$.

Khi $n = 2k + 1,\,k \in N \Rightarrow {n^2} + 1 = {\left( {2k + 1} \right)^2} + 1 = 4{k^2} + 4k + 2$ không chia hết cho $4$, $k \in N$.

+ Xét đáp án C. Tồn tại số nguyên tố $5$ chia hết cho $5$ nên đáp án C đúng

+ Xét đáp án D. Phương trình $2{x^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  - 2;\,\,x = 2 \in Z$ nên đáp án D đúng.

Ta có: $B \subset A$ khi và chỉ khi $\left( {m; + \infty } \right)\subset \left( {2; + \infty } \right)$, do đó $\forall x \in B \Rightarrow x \in A$$\Rightarrow m \ge 2$.

A sai vì với $x = 1$ thì ${\left( {x - 1} \right)^2} = x - 1$.

B sai vì khi $x =  - 4 < 3$ nhưng $\left| x \right| = 4 > 3$.

C sai vì

+ Nếu $n = 2k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$ thì ${n^2} + 1 = 4{k^2} + 1$ số này không chia hết cho $4$.

+ Nếu $n = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$ thì ${n^2} + 1 = 4{k^2} + 4k + 2$ số này cũng không chia hết cho $4$.

D đúng vì

+ Nếu $n = 3k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$ thì ${n^2} + 1 = 9{k^2} + 1$ số này không chia hết cho $3$.

+ Nếu $n = 3k \pm 1\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ thì ${n^2} + 1 = 9{k^2} \pm 6k + 2$ số này không chia hết cho $3$.

$M{\rm{ }} = {\rm{ }}\emptyset$

Tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$ nên không thể có hai góc tù.

$N \ne \emptyset$ vì nó chứa tam giác có $3$ cạnh là $3;4;5$ và nhiều tam giác khác.

Có thể chứng minh được nếu số nhỏ nhất trong $3$ số tự nhiên liên tiếp lớn hơn $1$ thì ba số tự nhiên liên tiếp đó luôn có thể là $3$ cạnh của tam giác.

Số nguyên tố chia hết cho $3$ là số $3$.

$P = \left\{ 3 \right\}$.

Các số tự nhiên chia hết cho $4$ nhỏ hơn $2017$ là $0;4;8;...;2016$

Số phần tử của tập hợp $X$ là: $\left( {2016 - 0} \right):4 + 1 = 505$ (số)

Vậy có tất cả $505$ số tự nhiên nhỏ hơn $2017$ và chia hết cho $4$.

Ta có: $B \subset A \Leftrightarrow  1 \leqslant m \leqslant m + 1 \leqslant 3 \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\m + 1 \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 2\end{array} \right.$

Vậy $1 \le m \le 2$.

Ta có $A = \left[ {1 - 2m;\,m + 3} \right]$, $B = \left[ {8 - 5m;\, + \infty } \right)$.

$A \cap B = \emptyset$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 3 < 8 - 5m\\1 - 2m \le m + 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6m < 5\\3m \ge  - 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{5}{6}\\m \ge  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow  - \dfrac{2}{3} \le m < \dfrac{5}{6}$

Số học sinh giỏi toán, lý mà không giỏi hóa: $3 - 1 = 2$.

Số học sinh giỏi toán, hóa mà không giỏi lý: $4 - 1 = 3$.

Số học sinh giỏi hóa, lý mà không giỏi toán: $2 - 1 = 1$.

Số học sinh chỉ giỏi môn lý: $5 - 2 - 1 - 1 = 1$.

Số học sinh chỉ giỏi môn hóa: $6 - 3 - 1 - 1 = 1$.

Số học sinh chỉ giỏi môn toán: $7 - 3 - 2 - 1 = 1$.

Số học sinh giỏi ít nhất một (môn toán, lý, hóa) là số học sinh giỏi $1$ môn hoặc $2$ môn hoặc cả $3$ môn: $1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 1 = 10$.

Ta có: $x \in A \Leftrightarrow mx - 3 \ge 0$.

+ Nếu $m = 0$ thì $- 3 \ge 0$ (vô lý) nên $A = \emptyset$

+ Nếu $m > 0$ thì $x \ge \dfrac{3}{m}$ hay $A = \left[ {\dfrac{3}{m}; + \infty } \right)$

+ Nếu $m < 0$ thì $x \le \dfrac{3}{m}$ hay $A = \left( { - \infty ;\dfrac{3}{m}} \right]$

$x \in B \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x =  - 2}\end{array}} \right.$ hay $B = \left\{ { - 2;2} \right\}$

Ta có: $B\backslash A = B \Leftrightarrow B \cap A = \emptyset$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m = 0\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 0}\\{\dfrac{3}{m} > 2}\end{array}} \right.\end{array}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{\dfrac{3}{m} <  - 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m = 0\\0 < m < \dfrac{3}{2}\end{array}\\{ - \dfrac{3}{2} < m < 0}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow  - \dfrac{3}{2} < m < \dfrac{3}{2}$

$\dfrac{{3{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = 3x - 1 + \dfrac{3}{{x + 1}}$

Điều kiện: $x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1.$

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x + 1 \in \mathbb{Z}$.

Để $\dfrac{{3{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} \in \mathbb{Z}$ thì $\dfrac{3}{{x + 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 3} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Vậy $B = \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,0;\,\,2} \right\}$.