Tích của một véc tơ với một số

Vì \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\,\overrightarrow {AM} .\) \(\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(I\) là trung điểm \(AM\) nên \(2\,\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AM} .\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 4\overrightarrow {AI} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AM} .\)

Và \(M\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

Do đó \(\overrightarrow {AG}  = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\)

Vì \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = 2\overrightarrow {IM} .\)

Mặt khác \(I\) là trung điểm \(AM\) nên \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IM}  = \overrightarrow 0 .\)

Suy ra \(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + 2\overrightarrow {IA}  = 2\overrightarrow {IM}  + 2\overrightarrow {IA}  = 2\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {IA} } \right) = \overrightarrow 0 .\)

Gọi \(C\) là điểm đối xứng của \(O\) qua \(A\)\( \Rightarrow OC = 2a.\)

Tam giác \(OBC\) vuông tại \(O,\) có \(BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}}  = a\sqrt 5 .\)

Ta có \(2\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BC} ,\) suy ra \(\left| {2\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = a\sqrt 5 .\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {BC}  + \underbrace {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} }_{\overrightarrow 0 } = 2\overrightarrow {BC} \)

Ta có \(2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 3\overrightarrow {MC} \)\( = 2\overrightarrow {MC}  + 2\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CB}  - 3\overrightarrow {MC} \) \( = 2\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} \)

Dễ thấy \( - 10\,\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b  =  - \,2\,\left( {5\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

\( \Rightarrow \) hai vectơ \(5\vec a + \vec b,\,\, - 10\vec a - 2\vec b\) cùng phương.

Gọi \(I,\,\,G\) lần lượt là trung điểm \(BC\) và trọng tâm tam giác \(ABC.\)

Vì \(I\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 2\,\overrightarrow {MI} .\)

Theo bài ra, ta có \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} \) suy ra \(\overrightarrow {MA}  = 2\overrightarrow {MI} \)\( \Rightarrow \)\(A,\,\,M,\,\,I\) thẳng hàng

Mặt khác \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow G \in AI.\)

Do đó, ba điểm \(A,\,\,M,\,\,G\) thẳng hàng.

Ta có:

\(\overrightarrow {AM}  = x\overrightarrow {AB}  + y\overrightarrow {AC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = x\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + y\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MC} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 - x - y} \right)\overrightarrow {AM}  = x\overrightarrow {MB}  + y\overrightarrow {MC} \)\( \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\overrightarrow {MA}  = x\overrightarrow {MB}  + y\overrightarrow {MC} \)

Theo bài ra, ta có \(\overrightarrow {MA}  = x\overrightarrow {MB}  + y\overrightarrow {MC} \) suy ra \(x + y - 1 = 1 \Leftrightarrow x + y = 2.\)

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN} \) và \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN} .\)

Suy ra \(3\,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  + 2\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN} } \right)\)

    \( = \left( {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB} } \right) + \overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {BC}  + \left( {\overrightarrow {DN}  + 2\overrightarrow {CN} } \right).\)

Theo bài ra, ta có \(\overrightarrow {MA}  + 2\,\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {DN}  + 2\,\overrightarrow {CN}  = \overrightarrow 0 .\)

Vậy \(3\,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AD}  + 2\,\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC} .\)

Ta có \(\overrightarrow {AN}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AM}  \Rightarrow \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CM}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AM} \)

Suy ra \(\overrightarrow {AN}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CM}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} \)

Do đó \(\overrightarrow {AB}  = \dfrac{4}{3}\overrightarrow {AN}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CM} \).

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD.\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {ME} \\\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {MF} \end{array} \right.,\,\,\forall M.\)

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right|\) \( \Leftrightarrow 2\left| {\overrightarrow {ME} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MF} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {ME} } \right| = \left| {\overrightarrow {MF} } \right|\) \(\left(  *  \right)\)

Vì \(E,\,\,F\) là hai điểm cố định nên từ đẳng thức \(\left(  *  \right)\)suy ra tập hợp các điểm \(M\) là trung trực của đoạn thẳng \(EF\) hay chính là trung trực của đoạn thẳng \(AD.\)

Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:

A đúng, gọi \(C\) nằm trên tia đối của tia \(AO\) sao cho \(OC = 3\,OA\)\( \Rightarrow 3\,\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OC} .\)

Và \(D\) nằm trên tia đối của tia \(BO\) sao cho \(OD = 4\,OB\)\( \Rightarrow 4\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OD} .\)

Dựng hình chữ nhật \(OCED\) suy ra \(\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OE} \) (quy tắc hình bình hành).

Ta có \(\left| {3\overrightarrow {OA}  + 4\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE = CD = \sqrt {O{C^2} + O{D^2}}  = 5a.\)

B đúng, vì \(\left| {2\,\overrightarrow {OA} } \right| + \left| {3\,\overrightarrow {OB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 2a + 3a = 5a.\)

C sai, xử lý tương tự như ý đáp án A.

D đúng, vì \(\left| {11\,\overrightarrow {OA} } \right| - \left| {6\,\overrightarrow {OB} } \right| = 11\left| {\overrightarrow {OA} } \right| - 6\left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 11a - 6a = 5a.\)

Chọn điểm \(E\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(EB = 2EA\)\( \Rightarrow 2\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  = \overrightarrow 0 .\)

Chọn điểm \(F\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(FA = 2FB\)\( \Rightarrow 2\overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {FA}  = \overrightarrow 0 .\)

Ta có

    \(\left| {2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB} } \right| \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {ME}  + 2\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MF}  + 2\overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {MF}  + \overrightarrow {FA} } \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {3\,\overrightarrow {ME}  + \underbrace {2\,\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB} }_{\overrightarrow 0 }} \right| = \left| {3\,\overrightarrow {MF}  + \underbrace {2\,\overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {FB} }_{\overrightarrow 0 }} \right| \Leftrightarrow \left| {3\,\overrightarrow {ME} } \right| = \left| {3\,\overrightarrow {MF} } \right| \Leftrightarrow ME = MF.\) \(\,\left(  *  \right)\)

Vì \(E,\,\,F\) là hai điểm cố định nên từ đẳng thức \(\left(  *  \right)\) suy ra tập hợp các điểm \(M\) là trung trực của đoạn thẳng \(EF.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(I\) cũng là trung điểm của \(EF.\)

Vậy tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(\left| {2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB} } \right|\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên G cố định duy nhất và \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).Ta có \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\,\, \Leftrightarrow \,\,\left| {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  - 3\overrightarrow {GM} } \right| = 3\,\, \Leftrightarrow \,3\,\left| {\overrightarrow {GM} } \right| = 3\,\, \Leftrightarrow \,\,GM = 1\).Vậy tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\) bán kính bằng \(1.\)

Bước 1:

Ta có \(AB\parallel CD\) nên theo hệ quả định lý Ta-lét ta được:

\(\dfrac{{BM}}{{MD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow MD = 2BM\)

Mà \(BD = BM + MD\)

\( \Rightarrow BD = BM + 2BM = 3BM\)\( \Rightarrow BM = \dfrac{1}{3}BD\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BD} \)

Bước 2:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD} \end{array}\)

Ta có ba điểm phân biệt $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ thẳng hàng khi và chỉ khi các véc tơ $\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC},\overrightarrow {BC}$ cùng phương, hay $\exists {\rm{ }}k \in \mathbb{R},k \ne 0$ sao cho $\overrightarrow {AB} {\rm{  =  }}k\overrightarrow {AC} $ hoặc $\overrightarrow {AB} {\rm{  =  }}k\overrightarrow {BC} $ hoặc $\overrightarrow {AC} {\rm{  =  }}k\overrightarrow {BC} $

Chú ý rằng hệ số $k$ phải khác $0$ nên chỉ có đáp án D sai.

Ta có $\overrightarrow a  =  - 2\overrightarrow b {\rm{ }} $ $\Rightarrow {\rm{ }}\overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  $ $=  - 2\overrightarrow b  + \overrightarrow b  =  - \overrightarrow b $

Vậy hai vectơ $\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ đối nhau.

Do đó chúng cùng phương, ngược hướng nên các đáp án B, C, D đúng.

Đáp án A sai vì hai véc tơ đó không bằng nhau.

Ta có $GA = \dfrac{2}{3}AM$

Mặt khác $\overrightarrow {GA} $ và $\overrightarrow {AM} $ ngược hướng $\overrightarrow {GA}  =  - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AM} $.

Ta có $AM = 3MG$

Mặt khác $\overrightarrow {AM} $ và $\overrightarrow {MG} $ ngược hướng

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  =  - 3\overrightarrow {MG} \).