Tích của một véc tơ với một số

Ta có $\overrightarrow {MN}  =  - 3\overrightarrow {MP}$ nên $MN = 3MP$ và$\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {MP}$ ngược hướng.

Do $M$ là trung điểm của $BC$nên ta có $\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM}$

Mà $\overrightarrow {AM}  = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AG}$$\Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2.\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AG}  = 3\overrightarrow {AG}$$\Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \dfrac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{3}$.

Ta có $AB = 3AI;\,\,\,\overrightarrow {AI}$ và $\overrightarrow {AB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {AB}  =  - 3\overrightarrow {AI}  \Leftrightarrow$$3\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow 0$

Vậy $3\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow 0$.

Ta có

$S = \left| {2\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} } \right|$$= \left| {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 2 .\sqrt 2  = 2a$.

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}$ thì $\left[ \begin{array}{l}AB//CD\\AB \equiv CD\end{array} \right.$.

Nên đáp án B SAI.

Do $G$ và $G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$và $A'B'C'$ nên

$\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG}  = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {A'G'}  + \overrightarrow {B'G'}  + \overrightarrow {C'G'}  = \overrightarrow 0$

Đáp án A: $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'}  = \left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'} } \right) = \overrightarrow 0  + 3\overrightarrow {GG'}$

Đáp án B: $\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CA'}  = \left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'} } \right) = \overrightarrow 0  + 3\overrightarrow {GG'}$

Đáp án C: $\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {CB'}  = \left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'} } \right) = \overrightarrow 0  + 3\overrightarrow {GG'}$

Đáp án D: $\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C}  = \left( {\overrightarrow {A'G'}  + \overrightarrow {B'G'}  + \overrightarrow {C'G'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'A}  + \overrightarrow {G'B}  + \overrightarrow {G'C} } \right) = \overrightarrow 0  + 3\overrightarrow {G'G}$ (SAI)

Ta có$\dfrac{1}{2}\overrightarrow a  - \overrightarrow b  =  - \left( { - \dfrac{1}{2}\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)$ nên chọn đáp án C.

Ta có $2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b$ và $\overrightarrow a  + \left( {x - 1} \right)\overrightarrow b$ cùng phương nên có tỉ lệ:$\dfrac{1}{2} = \dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} \Rightarrow x =  - \dfrac{1}{2}$.

Ta có

$5\overrightarrow {MA}  = 2\overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow 5\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right) = 2\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IA}  = 3\overrightarrow {IM}  + 2\overrightarrow {IB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  = \dfrac{3}{5}\overrightarrow {IM}  + \dfrac{2}{5}\overrightarrow {IB}$

Ta có:

$\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}$ $= \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)$ $= \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC}$

Ta có

$\overrightarrow {IM}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BM}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)$ $= \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Ta có $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|$$\Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \Leftrightarrow 2MI = BA \Leftrightarrow MI = \dfrac{{BA}}{2}$

Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB$.

Vẽ $\overrightarrow {AB'}  = 4\overrightarrow {AB} ;\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AC'}  =  - \overrightarrow {AC}$. Vẽ hình bình hành $AC'DB'$

Ta có: $\left| {4\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {AC'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD$

Do đó $AD = \sqrt {A{{B'}^2} + A{{C'}^2}}  = \sqrt {{8^2} + {2^2}}  = 2\sqrt {17}$.

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Ta có $2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC}$$= 2\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right) + \overrightarrow {IC}  - \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow 0 .$

Mà $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$$\Rightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = 3\,\overrightarrow {IG} .$

Khi đó $9\,\overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {IC}  - \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow 9\overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow 9\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow {CA}$ $\left(  *  \right)$

Do đó $\left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA} } \right|$$\Leftrightarrow \left| {9\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|$ $\Leftrightarrow 9MI = AB$

Vì $I$ là điểm cố định thỏa mãn $\left(  *  \right)$ nên tập hợp các điểm $M$ cần tìm là đường tròn tâm $I,$ bán kính $R = \dfrac{{AB}}{9} = \dfrac{a}{9}.$

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ , ta có $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}$.

Thay vào ta được : $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = 6 \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 6 \Leftrightarrow MG = 2$, hay tập hợp các điểm $M$là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác $ABC$  và bán kính bằng $2$ .

Ta có: M, E, F thẳng hàng nên theo hệ quả của định lí Ta-let ta có: $\dfrac{{FE}}{{EM}} = \dfrac{{BE}}{{CE}} = \dfrac{1}{2}$ hay E là trung điểm của MF. Khi đó

$\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {BF}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB}  = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\overrightarrow {DC}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {DC}  =  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {CD}$.

Vậy $x =  - \dfrac{1}{3}$