Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hai điểm \(A,\,\,B\) phân biệt và cố định, với \(I\) là trung điểm của \(AB.\) Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \(\left| {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right|\) là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Chọn điểm \(E\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(EB = 2EA\)\( \Rightarrow 2\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} = \overrightarrow 0 .\)
Chọn điểm \(F\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(FA = 2FB\)\( \Rightarrow 2\overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow 0 .\)
Ta có
\(\left| {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right| \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {ME} + 2\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MF} + 2\overrightarrow {FB} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {FA} } \right|\)
\( \Leftrightarrow \left| {3\,\overrightarrow {ME} + \underbrace {2\,\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} }_{\overrightarrow 0 }} \right| = \left| {3\,\overrightarrow {MF} + \underbrace {2\,\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} }_{\overrightarrow 0 }} \right| \Leftrightarrow \left| {3\,\overrightarrow {ME} } \right| = \left| {3\,\overrightarrow {MF} } \right| \Leftrightarrow ME = MF.\) \(\,\left( * \right)\)
Vì \(E,\,\,F\) là hai điểm cố định nên từ đẳng thức \(\left( * \right)\) suy ra tập hợp các điểm \(M\) là trung trực của đoạn thẳng \(EF.\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(I\) cũng là trung điểm của \(EF.\)
Vậy tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(\left| {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right|\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)
Hướng dẫn giải:
- Tìm điểm \(E,F\) sao cho \(2\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} = \overrightarrow 0 \) và \(2\overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow 0 \).
- Xen điểm vào đẳng thức véc tơ và nhận xét quỹ tích.
