Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3(x + y)}}{{x - y}} = a\\\dfrac{{2{\rm{x}} - y - {\rm{ax}}}}{{y - x}} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3x}}{{x - y}} + \dfrac{{3y}}{{x - y}} = a\\\dfrac{{2{\rm{x}}}}{{y - x}} - \dfrac{y}{{y - x}} - \dfrac{{{\rm{ax}}}}{{y - x}} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3x}}{{x - y}} + \dfrac{{3y}}{{x - y}} = a\\\dfrac{{ - 2{\rm{x}}}}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x - y}} + \dfrac{{{\rm{ax}}}}{{x - y}} =  - 1\end{array} \right.$

Điều kiện: $x ≠ y$

Đặt $u = \dfrac{x}{{x - y}};v = \dfrac{y}{{x - y}}$, hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}3u + 3v = a\\ - 2u + v + au =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u + 3v = a\\\left( {a - 2} \right)u + v =  - 1\end{array} \right.$

Ta có: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&3\\{a - 2}&1\end{array}} \right| = 3 - 3{\rm{a}} + 6 = 9 - 3{\rm{a}}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow 9 - 3{\rm{a}} \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 3$

Ta có:

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m + 1}&1\\{{m^2}}&{ - 1}\end{array}} \right| =  - 2m - 1 - {m^2} =  - {\left( {m + 1} \right)^2}\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - 2}&1\\{{m^2} - 3m}&{ - 1}\end{array}} \right| =  - 2m + 2 - {m^2} + 3m =  - {m^2} + m + 2 = \left( {m + 1} \right)\left( {2 - m} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m + 1}&{2m - 2}\\{{m^2}}&{{m^2} - 3m}\end{array}} \right| = \left( {2m + 1} \right)\left( {{m^2} - 3m} \right) - {m^2}\left( {2m - 2} \right) =  - 3{m^2} - 3m =  - 3m\left( {m + 1} \right)\end{array}$

Nếu $m ≠ -1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất  $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{m - 2}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{3}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{3m}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{3}{{m + 1}}\end{array} \right.$

Để $x, y \in Z$  suy ra $\dfrac{3}{{m + 1}} \in Z$ $m + 1 \in U(3) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$

+) Với $m + 1 = 1 \Rightarrow m = 0$ (thoả mãn)

+) Với $m + 1 = -1 \Rightarrow m = -2$ (thoả mãn)

+) Với $m + 1 = 3 \Rightarrow m = 2$ (thoả mãn)

+) Với $m + 1 = - 3 \Rightarrow m = -4$ (thoả mãn)

Vậy có $4$ giá trị của $m$ thoả mãn đề bài.

Ta có: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\3&m\end{array}} \right| = {m^2} + 3\,\,\,;\,\,\,{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\5&m\end{array}} \right| = 2m + 5\,\,\,;\,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\3&5\end{array}} \right| = 5m - 6$

Vì $m^2 + 3 ≠ 0,\forall m$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất  $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{2m + 5}}{{{m^2} + 3}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{5m - 6}}{{{m^2} + 3}}\end{array} \right.$

Theo giả thiết, ta có:

$\begin{array}{l}x + y < 1 \Leftrightarrow \dfrac{{2m + 5}}{{{m^2} + 3}} + \dfrac{{5m - 6}}{{{m^2} + 3}} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{{7m - 1}}{{{m^2} + 3}} < 1\\ \Leftrightarrow 7m - 1 < {m^2} + 3 \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{7 + \sqrt {33} }}{2}\\m < \dfrac{{7 - \sqrt {33} }}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\{1 - m}&1\end{array}} \right| = m - 2m + 2{m^2} = 2{m^2} - m\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 10}&{2m}\\{10}&1\end{array}} \right| =  - 10 - 20m\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 10}\\{1 - m}&{10}\end{array}} \right| = 10m + 10 - 10m = 10\end{array}$

Nếu $D = 0 \Leftrightarrow 2{m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Với $m = 0 \Rightarrow {D_x} \ne 0$ nên hệ vô nghiệm

Với $m = \dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow {D_x} \ne 0$ nên hệ vô nghiệm

Vậy với $\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$ thì hệ phương trình vô nghiệm.

Ta có : $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 2}\\3&m\end{array}} \right| = {m^2} + 6;{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 2}\\4&m\end{array}} \right| = 3m + 8\,\,\,;\,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&3\\3&4\end{array}} \right| = 4m - 9$

Vì $m^2 + 6 ≠ 0, \forall m$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất  $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{3m + 8}}{{{m^2} + 6}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{4m - 9}}{{{m^2} + 6}}\end{array} \right.$

Theo giả thiết, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3m + 8}}{{{m^2} + 6}} > 0\\\dfrac{{4m - 9}}{{{m^2} + 6}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m + 8 > 0\\4m - 9 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{8}{3}\\m < \dfrac{9}{4}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow  - \dfrac{8}{3} < m < \dfrac{9}{4}$

Vì $m\in Z$ nên $m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}$

Ta có: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right| = 5 \ne 0$

$\begin{array}{l}{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - a}&{ - 1}\\{a + 1}&2\end{array}} \right| = 4 - 2{\rm{a}} + a + 1 = 5 - a\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{2 - a}\\1&{a + 1}\end{array}} \right| = 2{\rm{a}} + 2 - 2 + a = 3{\rm{a}}\end{array}$

Vì $D ≠ 0$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{5 - a}}{5};y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{3{\rm{a}}}}{5}$

Khi đó: ${x^2} + {y^2} = {\left( {\dfrac{{5 - a}}{5}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{3{\rm{a}}}}{5}} \right)^2} = \dfrac{{25 - 10{\rm{a}} + 10{{\rm{a}}^2}}}{{25}} = \dfrac{{10}}{{25}}\left( {{a^2} - a} \right) + 1 = \dfrac{2}{5}{\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{9}{{10}} \ge \dfrac{9}{{10}}$

Dấu “ = ’’ xảy ra $\Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}$

Ta có:  

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\1&{ - m}\end{array}} \right| =  - {m^2} + 1 = \left( {1 - m} \right)\left( {1 + m} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ - 1}\\{m + 1}&{ - m}\end{array}} \right| =  - 2{m^2} + m + 1 = \left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\1&{m + 1}\end{array}} \right| = {m^2} - m = m\left( {m - 1} \right)\end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow D ≠ 0$ $\Leftrightarrow - {m^2} + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Rightarrow x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{2m + 1}}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{ - m}}{{m + 1}}\end{array} \right.$

Khi đó: $P = x.y = \dfrac{{ - m(2m + 1)}}{{{{(m + 1)}^2}}} = \dfrac{{ - 2\left( {{m^2} + 2m + 1} \right)}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{3\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} =  - 2 + \dfrac{3}{{m + 1}} - \dfrac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}$ 

Đặt $\dfrac{1}{{m + 1}} = t \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = {t^2} \Rightarrow P =  - 2 + 3t - {t^2} =  - {\left( {t - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4} \Rightarrow {P_{\max }} = \dfrac{1}{4}$

Dấu “ = ’’ xảy ra $\Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{m + 1}} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{3}$

Cách 1:

$\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\{x^2} - {y^2} = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 5\\{x^2} - {\left( {x - 5} \right)^2} = 15\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 5\\10x - 25 = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 5\\x = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x = 4\end{array} \right.$

Cách 2

$\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\{x^2} - {y^2} = 15\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 1\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\5x - 4y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 4y = 44\\5x - 4y = 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13x = 52\\5x - 4y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {4;3} \right).$

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{x} - \dfrac{6}{y} = 6\\\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{y} =  - 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {x;y \ne 0} \right)$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = a\\\dfrac{1}{y} = b\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 6b = 6\\2a - b =  - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 2\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{2}\\y = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow x + y =  - 1$

Hệ phương trình có nghiệm $\left( {{x_0};2} \right)$ nên thay $y = 2$ ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2\left( {m + 1} \right) = m - 2\\2mx + 2\left( {m - 2} \right) = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2m - 2 = m - 2\\2mx + 2m - 5 = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3m\\2mx = 9 - 2m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3m\\2m.3m = 9 - 2m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3m\\6{m^2} + 2m - 9 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}$

Hai giá trị của tham số m là nghiệm của phương trình (1), do đó áp dụng định lí Vi-ét ta có ${m_1} + {m_2} = \dfrac{{ - 1}}{3}$.

Bước 1: Đặt ẩn, số gà là x và số chó là y

Gọi số con gà là x con (x>0) và số con chó là y con

Bước 2: Biểu diễn bài toán theo ẩn x và y và tìm nghiệm.

Theo bài ta có x+y=36 và 2x+4y=100

=> x=22, y=14

Số gà nhiều hơn số chó là 8