Cho hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\x - my = 1 + m\end{array} \right.$. Giá trị thích hợp của tham số $m$ để biểu thức $P = xy$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:  

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\1&{ - m}\end{array}} \right| =  - {m^2} + 1 = \left( {1 - m} \right)\left( {1 + m} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ - 1}\\{m + 1}&{ - m}\end{array}} \right| =  - 2{m^2} + m + 1 = \left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\1&{m + 1}\end{array}} \right| = {m^2} - m = m\left( {m - 1} \right)\end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow D ≠ 0 $ $ \Leftrightarrow - {m^2} + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Rightarrow x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{2m + 1}}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{ - m}}{{m + 1}}\end{array} \right.$

Khi đó: $P = x.y = \dfrac{{ - m(2m + 1)}}{{{{(m + 1)}^2}}} = \dfrac{{ - 2\left( {{m^2} + 2m + 1} \right)}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{3\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} =  - 2 + \dfrac{3}{{m + 1}} - \dfrac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}$ 

Đặt $\dfrac{1}{{m + 1}} = t \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = {t^2} \Rightarrow P =  - 2 + 3t - {t^2} =  - {\left( {t - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4} \Rightarrow {P_{\max }} = \dfrac{1}{4}$

Dấu “ = ’’ xảy ra $ \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{m + 1}} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{3}$