Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

Gọi m  là hệ số góc của tiếp tuyến d của đường tròn đi qua điểm \(B\left( {3; - 11} \right)\)

\( \Rightarrow \)Phương trình của d  là: \(y + 11 = m\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow mx - y - 3m - 11 = 0\)

d  là tiếp tuyến của đường tròn \({x^2} + {y^2} - 4x + 8y - 5 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {4^2} + 5}  = 5\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2m + 4 - 3m - 11} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 5 \\\Leftrightarrow \left| { - m - 7} \right| = 5\sqrt {{m^2} + 1} \\ \Leftrightarrow {m^2} + 14m + 49 = 25{m^2} + 25 \\\Leftrightarrow 24{m^2} - 14m - 24 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{4}{3}\\m =  - \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(m = \dfrac{4}{3} \Rightarrow d:\dfrac{4}{3}x - y - 4 - 11 = 0 \)\(\Leftrightarrow 4x - 3y - 45 = 0\) 

+) Với \(m =  - \dfrac{3}{4} \Rightarrow d: - \dfrac{3}{4}x - y + \dfrac{9}{4} - 11 = 0 \)\(\Leftrightarrow 3x + 4y + 35 = 0\) 

\(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right)\) làm VTPT

Vì \(d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2} \right)\) là một VTPT của d

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng d có dạng: \(x + 2y + c = 0\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + 4}  = 3\)

Gọi d cắt \(\left( C \right)\) theo dây \(AB = 6 = 2R\)

\( \Rightarrow \) AB là đường kính của \(\left( C \right)\) \( \Rightarrow I\left( { - 1;2} \right) \in d\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng d: \(x + 1 + 2\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 2y - 3 = 0\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) mà \(I\left( {a;b} \right) \in \left( \Delta  \right)\)

Vậy MN  là đường kính của đường tròn \(\left( C \right) \Rightarrow MN = 2R\)

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là VTPT của tiếp tuyến \(\Delta \) cần tìm. Ta có: \(A\left( {5; - 1} \right) \in \Delta \)

\( \Rightarrow \Delta :a\left( {x - 5} \right) + b\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 5a + b = 0\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2;2} \right)\) bán kính \(R = 3\)

\(\Delta \) tiếp tuyến với đường tròn \(\left( C \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) = R = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2a + 2b - 5a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| { - 3a + 3b} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( { - a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow 2ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(a = 0\) chọn \(b = 1 \Rightarrow \Delta :y =  - 1\)

Với \(b = 0\) chọn \(a = 1 \Rightarrow \Delta :x = 5\)

Gọi  H  là trung điểm của MN

\(\begin{array}{l} \Rightarrow OH \bot MN;\,\,MH = \dfrac{1}{2}MN = 2\\d\left( {O;\Delta } \right) = OH = \dfrac{{\left| { - 5} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \\ \Rightarrow {R^2} = O{M^2} = O{H^2} + M{H^2} = 5 + 4 = 9\\ \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} = 9\end{array}\)

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 4}  = 3.\)

 Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \({S_{MAIB}} = 2{S_{MAI}} = MA.AI\)

\( \Leftrightarrow MA.IA = 6\sqrt 2  \Leftrightarrow MA.3 = 6\sqrt 2  \Rightarrow MA = 2\sqrt 2 .\)

Theo định lý Py-ta-go ta có: \(M{A^2} + I{A^2} = M{I^2} \Rightarrow M{I^2} = 8 + 9 = 17.\)

Ta có: \(MI = \sqrt {17}  > R\) nên \(M\)  nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\), thỏa mãn từ \(M\)  kẻ được hai tiếp tuyến \(MA,\,\,MB\)  đến đường tròn \(\left( C \right)\).

Vì \(M\) nằm trên đường thẳng \(d:\,\,x - y + 2 = 0\) nên gọi \(M\left( {a;a + 2} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MI}  = \left( {1 - a; - 2 - a - 2} \right) \Rightarrow M{I^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 4 - a} \right)^2} = 17\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 + 16 + 8a + {a^2} = 17\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 6a + 17 = 17\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 6a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow M\left( {0;2} \right)\\a =  - 3 \Rightarrow M\left( { - 3; - 1} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

$x + y - a - b = 0 \Leftrightarrow y = a + b - x$thay vào ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$ta có \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {x - a} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a + \dfrac{R}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow y = b - \dfrac{R}{{\sqrt 2 }}\\x = a - \dfrac{R}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow y = b + \dfrac{R}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm là:\(A\left( {a + \dfrac{R}{{\sqrt 2 }};b - \dfrac{R}{{\sqrt 2 }}} \right);B\left( {a - \dfrac{R}{{\sqrt 2 }};b + \dfrac{R}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - \dfrac{{2R}}{{\sqrt 2 }};\dfrac{{2R}}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow AB = 2R\).

Ta có: $x - 2y + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 2y - 3$ thay vào ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0$ ta được:

\({\left( {2y - 3} \right)^2} + {y^2} - 2\left( {2y - 3} \right) - 4y = 0\) \( \Leftrightarrow 5{y^2} - 20y + 15 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 3 \Rightarrow x = 3\\
y = 1 \Rightarrow x = - 1
\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ các giao điểm là (3;3) và (-1;1).

\({x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 23 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {1;{\rm{ }}1} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)

Gọi \(d\left( {I,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {1 - 1 + 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2  < R\) suy ra đường thẳng \(\Delta \) cắt đường tròn theo dây cung \(AB\) và \(AB = 2\sqrt {{R^2} - {d^2}}  = 2\sqrt {23} .\)

Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $\Delta $ nên $R = d\left( {I,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {4.0 + 3.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 3 \Leftrightarrow m =  \pm 15$.

Đường tròn có tâm $I\left( {m;0} \right)$ và bán kính $R = 3$.

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi $d\left( {I;\Delta } \right) = R = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3m + 3} \right|}}{5} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m =  - 6\end{array} \right.$

\((C):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y = 0\) có tâm \(I(2;1)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {1^2}}  = \sqrt 5 \)

Ta có $IH = d\left( {I,d} \right) = \dfrac{{|2 - 1 + 1|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2  < R$. Suy ra \(IH < R \Leftrightarrow d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt.

\((C):{x^2} + {y^2} = 1\)  có tâm \(O(0;0)\) và bán kính \(R = 1\)

Do đó, \(d\) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) khi \(d\left( {I;d} \right) = R\) hay ta có phương trình

\(\dfrac{{|4.0 + 3.0 + m|}}{5} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{|m|}}{5} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 5\)

\((C):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 4}  = 3\)

Nếu d có phương trình \(x = 1\) ta có \(d\left( {I;d} \right) = \left| {1 - 1} \right| = 0 \ne R\). Loại A

Nếu d có phương trình $x + y - 2 = 0$ thì ta có \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 2 - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }} \ne R\). Loại B

Nếu d có phương trình $2x + y - 1 = 0$ thì ta có $d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 - 2 - 1} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} \ne R$. Loại C

Nếu d có phương trình \(y = 1\) ta có \(d\left( {I;R} \right) = \left| {1 - \left( { - 2} \right)} \right| = 3 = R\).

Vậy $d$ là tiếp tuyến của $(C )$

$(C )$ có tâm \(O(0;0)\) bán kính \(R = \sqrt 2 \). Ta thấy \(M \in (C)\).  Có \(\overrightarrow {OM}  = (1;1)\) là $1$ vector pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M.$ Do đó phương trình tiếp tuyến tại $M$ là: \(1\left( {x - 1} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\)

\((C):{x^2} + {y^2} + 4x - 2y - 20 = 0,\) có tâm \(I\left( { - 2;1} \right);\,\,R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + 20}  = 5\)

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \((d):3x + 4y - 37 = 0\) nên phương trình tiếp tuyến có dạng \(4x - 3y + c = 0\) (d’)

Vì d’ là tiếp tuyến của đường tròn có tâm \(I\left( { - 2;1} \right)\) và \(R = 5\) nên ta có

\(d\left( {I;d'} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.\left( { - 2} \right) - 3.1 + c} \right|}}{5} = 5\)\( \Leftrightarrow |c - 11| = 25\)\( \Leftrightarrow c = 36\)  hoặc \(c =  - 14\)

\(\left( {{C_1}} \right)\) có bán kính \({R_1} = 2\) ; \(\left( {{C_2}} \right)\) có bán kính \({R_2} = 4\)

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x = 0\\{x^2} + {y^2} + 8y = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x = 0\\x =  - 2y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{y^2} + 8y = 0\\x =  - 2y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0,x = 0\\y =  - \dfrac{8}{5},x = \dfrac{{16}}{5}\end{array} \right.\)

Vậy hai đường tròn có tất cả \(2\) điểm chung nên chúng cắt nhau.

Đường tròn $\left( C \right)$  có tâm $I\left( {1;3} \right)$   và bán kính $R = 2.$

Gọi $d$  là tiếp tuyến cần tìm.

Ta có $d$  đi qua điểm $M\left( {4;1} \right)$  nên phương trình $d$  có 2 dạng.

+) ${d_1}:x = 4$. Khi đó $d\left( {I;d} \right) = \left| {4 - 1} \right| = 3 > R$ nên ${d_1}:x = 4$ không phải là tiếp tuyến.

+) ${d_2}:y = k\left( {x - 4} \right) + 1 \Leftrightarrow kx - y + 1 - 4k = 0$

Vì ${d_2}$  là tiếp tuyến nên ta có

 $d\left( {I;{d_2}} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {k - 3 + 1 - 4k} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + {1^2}} }} = 2$$ \Leftrightarrow 5{k^{^2}} + 12k = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 0}\\{k = \dfrac{{ - 12}}{5}}\end{array}} \right.$

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu đề bài $y = 1$ và $12x + 5y - 53 = 0$

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc \({60^o}\)\( \Leftrightarrow \) hệ số góc của tiếp tuyến là \(\tan {60^0}\) hoặc  \(\tan {120^0}\)

Do đó tiếp tuyến \(d\) có dạng $y = \sqrt 3 x + b$ hoặc $y =  - \sqrt 3 x + b$

Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x = 0 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 1$ có  tâm $I\left( { - 1;0} \right)$ và bán kính $R = 1$

\(d\)  tiếp xúc với đường tròn $ \Leftrightarrow d(I,d) = R$$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { \pm \sqrt 3 .( - 1) + b} \right|}}{2} = 1$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  \pm 2 + \sqrt 3 }\\{b =  \pm 2 - \sqrt 3 }\end{array}} \right.$

Vậy ta có $4$  tiếp tuyến :

\(\sqrt 3 x - y - 2 + \sqrt 3  = 0,\) $\sqrt 3 x - y + 2 + \sqrt 3  = 0,$ $\sqrt 3 x + y - 2 + \sqrt 3  = 0,$ $\sqrt 3 x + y + 2 + \sqrt 3  = 0$.

Hình ảnh minh họa:

Viết lại phương trình của $\left( C \right)$  dưới dạng: ${\left( {x-3} \right)^2} + {y^2} = 4.$

Từ đó, $\left( C \right)$  có tâm $I\left( {3;0} \right)$  và bán kính $R = 2$

Giao của đường tròn với trục tung $\left( {x = 0} \right)$  là: ${\left( { - 3} \right)^2} + {y^2} = 4.$

Nên ${y^2} =  - 5$  (vô lý)

Suy ra trục tung không có điểm chung với đường tròn $\left( C \right).$

Gọi \(M\left( {0;m} \right) \in Oy\) mà góc giữa hai tiếp tuyến \(ME,MF\) bằng \({60^0}\)

Khi đó \(\widehat {IME} = {30^0}\) suy ra \(MI = \dfrac{{IE}}{{\sin \widehat {IME}}} = \dfrac{2}{{\sin {{30}^0}}} = 4\)

Do đó \(\sqrt {{{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - m} \right)}^2}}  = 4\) \( \Leftrightarrow \sqrt {9 + {m^2}}  = 4 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 7 \)

Vậy có hai điểm \(M\) cần tìm là \(\left( {0;\sqrt 7 } \right)\) và \(\left( {0; - \sqrt 7 } \right)\)