Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\)  và đường thẳng \(d:x - y + 2 = 0\). Tìm tọa độ điểm \(M\)  nằm trên đường thẳng \(d\) sao cho từ \(M\)  kẻ được hai tiếp tuyến \(MA,\,\,\,MB\)  đến đường tròn \(\left( C \right)\) và diện tích tứ  giác \(MAIB\)  bằng \(6\sqrt 2 \) (với \(A,\,\,B\)  là các tiếp điểm).

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 4}  = 3.\)

 Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \({S_{MAIB}} = 2{S_{MAI}} = MA.AI\)

\( \Leftrightarrow MA.IA = 6\sqrt 2  \Leftrightarrow MA.3 = 6\sqrt 2  \Rightarrow MA = 2\sqrt 2 .\)

Theo định lý Py-ta-go ta có: \(M{A^2} + I{A^2} = M{I^2} \Rightarrow M{I^2} = 8 + 9 = 17.\)

Ta có: \(MI = \sqrt {17}  > R\) nên \(M\)  nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\), thỏa mãn từ \(M\)  kẻ được hai tiếp tuyến \(MA,\,\,MB\)  đến đường tròn \(\left( C \right)\).

Vì \(M\) nằm trên đường thẳng \(d:\,\,x - y + 2 = 0\) nên gọi \(M\left( {a;a + 2} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MI}  = \left( {1 - a; - 2 - a - 2} \right) \Rightarrow M{I^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 4 - a} \right)^2} = 17\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 + 16 + 8a + {a^2} = 17\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 6a + 17 = 17\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 6a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow M\left( {0;2} \right)\\a =  - 3 \Rightarrow M\left( { - 3; - 1} \right)\end{array} \right..\end{array}\)