Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\). Phương trình các tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm \(A\left( {5; - 1} \right)\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) là VTPT của tiếp tuyến \(\Delta \) cần tìm. Ta có: \(A\left( {5; - 1} \right) \in \Delta \)
\( \Rightarrow \Delta :a\left( {x - 5} \right) + b\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 5a + b = 0\)
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2;2} \right)\) bán kính \(R = 3\)
\(\Delta \) tiếp tuyến với đường tròn \(\left( C \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) = R = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2a + 2b - 5a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| { - 3a + 3b} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( { - a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow 2ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(a = 0\) chọn \(b = 1 \Rightarrow \Delta :y = - 1\)
Với \(b = 0\) chọn \(a = 1 \Rightarrow \Delta :x = 5\)
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng \(\Delta \) tiếp tuyến với đường tròn \(\left( C \right)\) tâm I bán kính R \( \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) = R\)