Bất phương trình $2\left( {\sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - x} } \right) - \sqrt {30 + 7x - {x^2}}  \ge 4$ có bao nhiêu nghiệm nguyên ?

Điều kiện: $30 + 7x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - \,3;10} \right].$

Đặt $t = \sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - x}  \Leftrightarrow {t^2} = 13 + 2\sqrt {30 + 7x - {x^2}} $

Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành: $2t - \dfrac{{{t^2} - 13}}{2} \ge 4 \Leftrightarrow {t^2} - 4t - 5 \le 0 \Leftrightarrow  - \,1 \le t \le 5.$

Kết hợp điều kiện: $t \ge 0,$ ta được $\sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - x}  \le 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 10\\13 + 2\sqrt {30 + 7x - {x^2}}  \le 25\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 10\\\sqrt {30 + 7x - {x^2}}  \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 10\\{x^2} - 7x + 6 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 10\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6 \le x \le 10\\ - \,3 \le x \le 1\end{array} \right..$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {6;10} \right] \cup \left[ { - \,3;1} \right]$ chứa 10 nghiệm nguyên.