Cho hai số thực \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn \(x + y + 1 = 2\left( {\sqrt {x - 2}  + \sqrt {y + 3} } \right)\). Tập giá trị của biểu thức

\(S = x + y\) là:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge  - 3\end{array} \right.\), suy ra \(x + y + 1 \ge 0\).

Ta có

\(\begin{array}{l}x + y + 1 = 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y + 3} } \right)\\  = 2\sqrt {x - 2}  + 2\sqrt {y + 3}  \le \dfrac{{4 + x - 2}}{2} + \dfrac{{4 + y + 3}}{2} = \dfrac{{x + y + 9}}{2}\end{array}\).

Suy ra \(x + y + 1 \le \dfrac{{x + y + 9}}{2} \Leftrightarrow x + y \le 7\).

Lại có \(x + y + 1 = 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y + 3} } \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + y + 1} \right)^2} = 4\left( {x + y + 1 + 2\sqrt {x - 2} \sqrt {y + 3} } \right) \ge 4\left( {x + y + 1} \right)\) (do \(2\sqrt {x - 2} \sqrt {y + 3}  \ge 0\))

Suy ra \({\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 4\left( {x + y + 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y + 1 \le 0\\x + y + 1 \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\x + y + 1 \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\x + y \ge 3\end{array} \right..\)

$ \Rightarrow \left( {x + y} \right) \in \left[ {3;7} \right] \cup \left\{ { - 1} \right\}$