Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $f\left( x \right) = x + \sqrt {8 - {x^2}}.$

Ta có ${f^2}\left( x \right) = {\left( {x + \sqrt {8 - {x^2}} } \right)^2}$ $= {x^2} + 2x\sqrt {8 - {x^2}}  + 8 - {x^2}$ $= 8 + 2x\sqrt {8 - {x^2}} .$

Áp dụng bất đẳng thức $2ab \le {a^2} + {b^2}$ với $a = x,b = \sqrt {8 - {x^2}}$ ta có:

$2x\sqrt {8 - {x^2}}  \le {x^2} + {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} } \right)^2} = 8$

$\Rightarrow {f^2}\left( x \right) = 8 + 2x\sqrt {8 - {x^2}}  \le 8 + 8 = 16$ $\Rightarrow f\left( x \right) \le 4.$

Dấu $'' = ''$ xảy ra 

$\Leftrightarrow x = \sqrt {8 - {x^2}}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 8 - {x^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 4\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x =  \pm 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x = 2$

Vậy $M = 4$ khi x=2.