Tập nghiệm của bất phương trình $\sqrt { - \,{x^2} + 6x - 5}  > 8 - 2x$ có dạng $\left( {a;b} \right].$ Tính ${a^2} - 2b.$

Bất phương trình $\sqrt { - \,{x^2} + 6x - 5}  > 8 - 2x $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - \,{x^2} + 6x - 5 \ge 0\\8 - 2x <0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}8 - 2x \ge 0\\ - \,{x^2} + 6x - 5 > {\left( {8 - 2x} \right)^2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..$

Giải $\left( 1 \right),$ ta có $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,{x^2} + 6x - 5 \ge 0\\8 - 2x <0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + 5 \le 0\\x > 4\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 5\\x > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 < x \le 5.$

Giải $\left( 2 \right),$ ta có $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\ - \,{x^2} + 6x - 5 > 4{x^2} - 32x + 64\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\5{x^2} - 38x + 69 < 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow 3 < x \le 4.$

Kết hợp với hai TH, ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {3;5} \right] = \left( {a;b} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 5\end{array} \right..$

Hay \(a^2-2b=3^2-2.5=-1\).