Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\left| {\dfrac{{2 - 3\left| x \right|}}{{1 + x}}} \right| \le 1$ là:

Điều kiện: $x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - \,1.$

TH1. Với $x \ge 0,$ ta có $\left| {\dfrac{{2 - 3\left| x \right|}}{{1 + x}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{2 - 3x}}{{x + 1}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow  - \,1 \le \dfrac{{2 - 3x}}{{x + 1}} \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{3}{2}.$

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0,$ ta được tập nghiệm ${S_1} = \left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{3}{2}} \right].$

TH2. Với $x < 0,$ ta có $\left| {\dfrac{{2 - 3\left| x \right|}}{{1 + x}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{2 + 3x}}{{x + 1}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow  - \,1 \le \dfrac{{2 + 3x}}{{x + 1}} \le 1 \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{4} \le x \le  - \dfrac{1}{2}.$

Kết hợp với điều kiện $x < 0,$ ta được tập nghiệm ${S_2} = \left[ { - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right].$

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là $S = {S_1} \cup {S_2} = \left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ { - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right].$

Vậy số nghiệm nguyên $x$ cần tìm là $1\,\,\,\left( {x = 1} \right).$