Câu hỏi:
2 năm trước

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hệ 

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  + \sqrt y  = 3\\x + y = 2m\end{array} \right.\) (1) có nghiệm?

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: a

Điều kiện: \(x \ge 1;y \ge 0\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1}  \ge 0\\v = \sqrt y  \ge 0\end{array} \right.\)

Khi đó, hệ (1) trở thành

\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\\{u^2} + {v^2} = 2m - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\\uv = 5 - m\end{array} \right.\)

Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của phương trình \({X^2} - 3X + 5 - m = 0\)(*)

Hệ (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow (*)\) có 2 nghiệm không âm.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\P \ge 0\\S \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 11 + 4m \ge 0\\5 - m \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{11}}{4} \le m \le 5\)

Vậy \(m \in \left\{ {3;4;5} \right\}\)

 

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1}  \ge 0\\v = \sqrt y  \ge 0\end{array} \right.\)

Bước 2: Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình với ẩn u, v rồi biện luận nghiệm theo m

 

Câu hỏi khác