Tổng các giá trị m nguyên nhỏ hơn 6 để hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  + \sqrt y  = m\\x\sqrt x  + y\sqrt y  = {m^3} - 3m\end{array} \right.\) có nghiệm là

Điều kiện: \(x \ge 0;y \ge 0\)

Khi đó:

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  + \sqrt y  = m\\{\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {\sqrt y } \right)^3} = {m^3} - 3m\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = \sqrt x  + \sqrt y  \ge 0\\P = \sqrt {xy}  \ge 0\end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\)

Hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}S = m\\{S^3} - 3SP = {m^3} - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = m\\P = 1\end{array} \right.\)

Hệ (2) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S^2} \ge 4P\\P \ge 0\\S \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} \ge 4\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 2\)

Suy ra \(m \in \left\{ {2;3;4;5} \right\} \Rightarrow S = 2 + 3 + 4 + 5 = 14\)

.