Cho biết \(2\cos \alpha  + \sqrt 2 \sin \alpha  = 2\), \({0^0} < \alpha  < {90^0}.\) Tính giá trị của \(\cot \alpha .\) 

Ta có \(2\cos \alpha  + \sqrt 2 \sin \alpha  = 2\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \alpha  = 2 - 2\cos \alpha \) \( \Rightarrow 2{\sin ^2}\alpha  = {\left( {2 - 2\cos \alpha } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha  = 4 - 8\cos \alpha  + 4{\cos ^2}\alpha \)\( \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) = 4 - 8\cos \alpha  + 4{\cos ^2}\alpha \)

\( \Leftrightarrow 6{\cos ^2}\alpha  - 8\cos \alpha  + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha  = 1\\\cos \alpha  = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

\( \bullet \) \(\cos \alpha  = 1\): không thỏa mãn vì \({0^0} < \alpha  < {90^0}.\)

\( \bullet \) \(\cos \alpha  = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \sin \alpha  = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)\( \Rightarrow \cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)