Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \( - 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 2 \ge 0\) có nghiệm.

Đặt \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 2\).

\(\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2\left( {m - 2} \right) = {m^2} - 2m\)

+) \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2 < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2 < 0\\{m^2} - 2m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 0 < m < 2\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình \( - 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 2 \ge 0\) vô nghiệm.

\( \Rightarrow \) Loại

+) \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m = 0\)\( \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2{x^2} - 4x - 2 = 0\\ - 2{x^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy bất phương trình \( - 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 2 \ge 0\) có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Nhận \(m = 0;\,\,m = 2\).

+) \(\Delta ' > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m > 0\)\( \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) (giả sử \({x_1} < {x_2}\))

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta có: \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow {x_1} \le x \le {x_2}\)

\( \Rightarrow \) Nhận \(\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 2\end{array} \right.\)

Kết hợp các trường hợp, ta được \(m \in \left( { - \infty ;\,\,0} \right] \cup \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\).

Vậy \(m \in \left( { - \infty ;\,0} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\).