Bất phương trình $\dfrac{{2{x^2} - x - 1}}{{\left| {x + 1} \right| - 2x}} \le - 2{x^2} + x + 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

• Nếu \(x \ge - 1\) thì $\dfrac{{2{x^2} - x - 1}}{{\left| {x + 1} \right| - 2x}} \le  - 2{x^2} + x + 1$$ \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 1}}{{1 - x}} \le  - 2{x^2} + x + 1$

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 1 - \left( {1 - x} \right)\left( { - 2{x^2} + x + 1} \right)}}{{1 - x}} \le 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 1 - \left( { - 2{x^2} + x + 1 + 2{x^3} - {x^2} - x} \right)}}{{1 - x}} \le 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2{x^3} + 5{x^2} - x}}{{1 - x}} \le 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( { - 2{x^2} + 5x - 1} \right)}}{{1 - x}} \le 0\)

Cho \(x = 0\); \( - 2{x^2} + 5x - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + \sqrt {17} }}{4}\\x = \dfrac{{5 - \sqrt {17} }}{4}\end{array} \right.\); \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Lập bảng xét dấu ta có: \(0 \le x \le \dfrac{{5 - \sqrt {17} }}{4} \vee 1 < x \le \dfrac{{5 + \sqrt {17} }}{4}\).

Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là \(0;2\)

• Nếu \(x < - 1\) thì $\dfrac{{2{x^2} - x - 1}}{{\left| {x + 1} \right| - 2x}} \le  - 2{x^2} + x + 1$$ \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 1}}{{ - 1 - 3x}} \le  - 2{x^2} + x + 1$

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 1 - \left( { - 1 - 3x} \right)\left( { - 2{x^2} + x + 1} \right)}}{{ - 1 - 3x}} \le 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 1 - \left( {2{x^2} - x - 1 + 6{x^3} - 3{x^2} - 3x} \right)}}{{ - 1 - 3x}} \le 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 6{x^3} + {x^2} + 3x}}{{ - 1 - 3x}} \le 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( { - 6{x^2} + x + 3} \right)}}{{ - 1 - 3x}} \le 0\)

Cho \(x = 0\) ; \( - 6{x^2} + x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt {73} }}{{12}}\\x = \dfrac{{1 - \sqrt {73} }}{{12}}\end{array} \right.\); \( - 3x - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{3}\)

Lập bảng xét dấu ta có: \(\dfrac{{1 - \sqrt {73} }}{{12}} \le x <  - \dfrac{1}{3} \vee 0 \le x \le \dfrac{{1 + \sqrt {73} }}{{12}}\).

Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là \(0\)(loại)

Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.