Có bao nhiêu giá trị thực của m để hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1 \le 0\\{x^2} - 6x + 5 \le 0\end{array} \right.\)  có tập nghiệm là một đoạn có độ dài \(\dfrac{3}{2}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1 \le 0\\{x^2} - 6x + 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1 \le 0(1)\\1 \le x \le 5(2)\end{array} \right.\)

\({S_2} = \left[ {1;5} \right]\) là tập nghiệm của (2)

Ta có \({\Delta _{(1)}}' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 1 = 2m\)

(1) có nghiệm \( \Leftrightarrow {\Delta _{(1)}}' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 0\)

Khi đó (1)\( \Leftrightarrow m + 1 - \sqrt {2m}  \le x \le m + 1 + \sqrt {2m} \)\( \Rightarrow {S_1} = \left[ {m + 1 - \sqrt {2m} ;m + 1 + \sqrt {2m} } \right]\) là tập nghiệm của (1).

\( \Rightarrow S = {S_1} \cap {S_2}\) là tập nghiệm của hệ.

\( \Rightarrow S \subset {S_1}\) và \(S \subset {S_2}\).

Mà S là đoạn có độ dài bằng \(\dfrac{3}{2}\) nên ta chỉ cần  xét 2 trường hợp: trường hợp \({S_1}\) có độ dài lớn hơn \(\dfrac{3}{2}\) và trường hợp đoạn \({S_1}\) có độ dài bằng \(\dfrac{3}{2}\).

Trường hợp 1: Đoạn \(\left[ {m + 1 - \sqrt {2m} ;m + 1 + \sqrt {2m} } \right]\) có độ dài lớn hơn \(\dfrac{3}{2}\). Tức là,

\(\begin{array}{l}\left( {m + 1 + \sqrt {2m} } \right) - \left( {m + 1 - \sqrt {2m} } \right) > \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {2m}  > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{{32}}\end{array}\)

Khi đó \(S = {S_1} \cap {S_2}\) chỉ có thể là \(\left[ {1;m + 1 + \sqrt {2m} } \right]\) hoặc \(\left[ {m + 1 - \sqrt {2m} ;5} \right]\).

\( + )S = \left[ {1;m + 1 + \sqrt {2m} } \right] \Leftrightarrow m + 1 + \sqrt {2m}  - 1 = \dfrac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m + \sqrt {2m}  - \dfrac{3}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2m + 2\sqrt {2m}  - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2m}  = 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}(TM)\end{array}\)

\( + )S = \left[ {m + 1 - \sqrt {2m} ;5} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5 - m - 1 + \sqrt {2m}  = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow m - \sqrt {2m}  - \dfrac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2m - 2\sqrt {2m}  - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2m}  = 1 + \sqrt 6 \\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{7 + 2\sqrt 6 }}{2}(TM)\end{array}\)

Trường hợp 2: Đoạn \(\left[ {m + 1 - \sqrt {2m} ;m + 1 + \sqrt {2m} } \right]\) có độ dài có độ dài bằng  \(\dfrac{3}{2}\). Tức là, \(S = \left[ {m + 1 - \sqrt {2m} ;m + 1 + \sqrt {2m} } \right]\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1 + \sqrt {2m} } \right) - \left( {m + 1 - \sqrt {2m} } \right) = \dfrac{3}{2}\\m + 1 - \sqrt {2m}  \ge 1\\m + 1 + \sqrt {2m}  \le 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {2m}  = \dfrac{3}{2}\\m + 1 - \sqrt {2m}  \ge 1\\m + 1 + \sqrt {2m}  \le 5\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{9}{{32}}\\m + 1 - \sqrt {2m}  \ge 1\\m + 1 + \sqrt {2m}  \le 5\end{array} \right.\)  (Loại)

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.