Để phương trình sau có nghiệm duy nhất: $\left| {2{x^2} - 3x - 2} \right| = 5a - 8x - {x^2}$ thì giá trị của tham số $a$ là:

TH1: \(2{x^2} - 3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 5a - 8x - {x^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 5x - 2 = 5a\end{array}\)

TH2: \(2{x^2} - 3x - 2 < 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < x < 2\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 3x + 2 = 5a - 8x - {x^2}\\ \Leftrightarrow  - {x^2} + 11x + 2 = 5a\end{array}\)

Suy ra \(5a = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 5x - 2\,khi\,x \ge 2\,hoac\,x \le  - \dfrac{1}{2}\\ - {x^2} + 11x + 2\,khi\, - \dfrac{1}{2} < x < 2\end{array} \right.\)

Xét hàm \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 5x - 2\,khi\,x \ge 2\,hoac\,x \le  - \dfrac{1}{2}\\ - {x^2} + 11x + 2\,khi\, - \dfrac{1}{2} < x < 2\end{array} \right.\) ta có:

Với \(x \in \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) thì \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 5x - 2\) có:

\( - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{5}{6}\) và \(a = 3 > 0\) nên hàm số đống biến trên \(\left( { - \dfrac{5}{6}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{5}{6}} \right)\).

Kết hợp với tập đang xét \(x \in \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) ta được hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \dfrac{5}{6}; - \dfrac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), hàm số nghịch biên trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{5}{6}} \right)\).

Với \(x \in \left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\) thì \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 11x + 2\) có:

\( - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{11}}{2}\) và \(a =  - 1 < 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\dfrac{{11}}{2}} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{{11}}{2}; + \infty } \right)\)

Kết hợp với khoảng đang xét \(\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\) ta được hàm số đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: phương trình (1) có nghiệp duy nhất \(5a =  - \dfrac{{49}}{{12}} \Leftrightarrow a = -\dfrac{{ 49}}{{60}}\).