Cho hàm số f(x)=4−3x. Khẳng định nào sau đây đúng?
TXĐ: D=R. Với mọi x1,x2∈R và x1<x2, ta có
f(x1)−f(x2)=(4−3x1)−(4−3x2)=−3(x1−x2)>0.
Suy ra f(x1)>f(x2). Do đó, hàm số nghịch biến trên R.
Mà (43;+∞)⊂R nên hàm số cũng nghịch biến trên (43;+∞).
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x)=x2−4x+5 trên khoảng (−∞;2) và trên khoảng (2;+∞). Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có f(x1)−f(x2)=(x21−4x1+5)−(x22−4x2+5)
=(x21−x22)−4(x1−x2)=(x1−x2)(x1+x2−4).
Với mọi x1,x2∈(−∞;2) và x1<x2. Ta có {x1<2x2<2⇒x1+x2<4.
Suy ra f(x1)−f(x2)x1−x2=(x1−x2)(x1+x2−4)x1−x2=x1+x2−4<0.
Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞;2).
Với mọi x1,x2∈(2;+∞) và x1<x2. Ta có {x1>2x2>2⇒x1+x2>4.
Suy ra f(x1)−f(x2)x1−x2=(x1−x2)(x1+x2−4)x1−x2=x1+x2−4>0.
Vậy hàm số đồng biến trên (2;+∞).
Xét sự biến thiên của hàm số f(x)=x+1x trên khoảng (1;+∞). Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có
f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1−x2)+(1x1−1x2)=(x1−x2)(1−1x1x2)
Với mọi x1,x2∈(1;+∞) và x1<x2.
Ta có {x1>1x2>1⇒x1.x1>1⇒1x1.x1<1.
Suy ra f(x1)−f(x2)x1−x2=1−1x1x2>0⇒f(x) đồng biến trên (1;+∞).
Cho hàm số f(x)=√2x−7. Khẳng định nào sau đây đúng?
TXĐ: D=[72;+∞) nên ta loại đáp án C và D.
Xét f(x1)−f(x2)=√2x1−7−√2x2−7=2(x1−x2)√2x1−7+√2x2−7
Với mọi x1,x2∈(72;+∞) và x1<x2, ta có f(x1)−f(x2)x1−x2=2√2x1−7+√2x2−7>0.
Vậy hàm số đồng biến trên (72;+∞).
Trong các hàm số y=2015x,y=2015x+2,y=3x2−1,y=2x3−3x có bao nhiêu hàm số lẻ?
∙ Xét f(x)=2015x có TXĐ: D=R nên ∀x∈D⇒−x∈D.
Ta có f(−x)=2015(−x)=−2015x=−f(x)⇒f(x) là hàm số lẻ.
∙ Xét f(x)=2015x+2 có TXĐ: D=R nên ∀x∈D⇒−x∈D.
Ta cóf(−x)=2015(−x)+2=−2015x+2≠±f(x)⇒f(x) không chẵn, không lẻ.
∙ Xét f(x)=3x2−1 có TXĐ: D=R nên ∀x∈D⇒−x∈D.
Ta có f(−x)=3(−x)2−1=3x2−1=f(x)⇒f(x) là hàm số chẵn.
∙ Xét f(x)=2x3−3x có TXĐ: D=R nên ∀x∈D⇒−x∈D.
Ta có f(−x)=2(−x)3−3(−x)=−2x3+3x=−f(x)⇒f(x) là hàm số lẻ.
Vậy có hai hàm số lẻ.
Trong các hàm số y=|x+2|−|x−2|,y=|2x+1|+√4x2−4x+1,y=x(|x|−2), y=|x+2015|+|x−2015||x+2015|−|x−2015| có bao nhiêu hàm số lẻ?
Xét f(x)=|x+2|−|x−2| có TXĐ: D=R nên ∀x∈D⇒−x∈D.
Ta có f(−x)=|(−x)+2|−|(−x)−2|=|−x+2|−|−x−2|
=|x−2|−|x+2|=−(|x+2|−|x−2|)=−f(x)⇒f(x) là hàm số lẻ.
Xét f(x)=|2x+1|+√4x2−4x+1=|2x+1|+√(2x−1)2=|2x+1|+|2x−1| có
TXĐ: D=R nên ∀x∈D⇒−x∈D.
Ta có f(−x)=|2(−x)+1|+|2(−x)−1|=|−2x+1|+|−2x−1|
=|2x−1|+|2x+1|=|2x+1|+|2x−1|=f(x)⇒f(x) là hàm số chẵn.
Xét f(x)=x(|x|−2) có TXĐ: D=R nên ∀x∈D⇒−x∈D.
Ta có f(−x)=(−x)(|−x|−2)=−x(|x|−2)=−f(x)⇒f(x) là hàm số lẻ.
Xét f(x)=|x+2015|+|x−2015||x+2015|−|x−2015| có TXĐ: D=R∖{0} nên \forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}
Ta có f\left( { - x} \right) = \dfrac{{| - x + 2015| + | - x - 2015|}}{{| - x + 2015| - | - x - 2015|}} = \dfrac{{|x - 2015| + |x + 2015|}}{{|x - 2015| - |x + 2015|}}
= - \dfrac{{|x + 2015| + |x - 2015|}}{{|x + 2015| - |x - 2015|}} = - f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) là hàm số lẻ.
Vậy có tất cả 3 hàm số lẻ.
Cho hàm số f\left( x \right) = {x^2} - \left| x \right|. Khẳng định nào sau đây là đúng.
TXĐ: {\rm{D}} = \mathbb{R} nên \forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}.
Ta có f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} - \left| { - x} \right| = {x^2} - \left| x \right| = f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) là hàm số chẵn.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng \left( { - 1;2} \right) để hàm số y = \left( {2m - 3} \right)x + m - 2 nghịch biến trên \mathbb{R}.
TXĐ: D = \mathbb{R}
Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R} \Leftrightarrow 2m - 3 < 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{3}{2}.
Do m \in \left( { - 1;2} \right) nên - 1 < m < \dfrac{3}{2}
Mà m \in \mathbb{Z} nên m \in \left\{ {0;1} \right\}
Cho hai hàm số f\left( x \right) = - 2{x^3} + 3x và g\left( x \right) = {x^{2017}} + 3. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét f\left( x \right) = - 2{x^3} + 3x có TXĐ: {\rm{D}} = \mathbb{R} nên \forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}
Ta có f\left( { - x} \right) = - 2{\left( { - x} \right)^3} + 3\left( { - x} \right) = 2{x^3} - 3x = - f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) là hàm số lẻ.
Xét g\left( x \right) = {x^{2017}} + 3 có TXĐ: {\rm{D}} = \mathbb{R} nên \forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}
Ta có g\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^{2017}} + 3 = - {x^{2017}} + 3 \ne \pm g\left( x \right) \Rightarrow g\left( x \right) không chẵn, không lẻ.
Vậy f\left( x \right) là hàm số lẻ; g\left( x \right) là hàm số không chẵn, không lẻ.
Hàm số y = \dfrac{{2{x^2} + 3}}{{{x^2} - 4x}} - \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{x - 3}} có tập xác định là
ĐKXĐ:
\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x \ne 0\\x - 3 \ne 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 4} \right) \ne 0\\x \ne 3\\x \ge 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ne 3\\x \ne 4\end{array} \right.\end{array}
Vậy tập xác định của hàm số là D = \left[ {2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {3;4} \right\}.
Trong các hàm số nào sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?
Xét f\left( x \right) = \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right| có TXĐ: {\rm{D}} = \mathbb{R} nên \forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}
Ta có f\left( { - x} \right) = \left| { - x + 1} \right| + \left| { - x - 1} \right| = \left| {x - 1} \right| + \left| {x + 1} \right| = f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) là hàm số chẵn.
Xét sự biến thiên của hàm số f\left( x \right) = \dfrac{3}{x} trên khoảng \left( {0; + \infty } \right). Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{3}{{{x_1}}} - \dfrac{3}{{{x_2}}} = \dfrac{{3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} = - \dfrac{{3\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}.
Với mọi {x_1},{\rm{ }}{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right) và {x_1} < {x_2}. Ta có \left\{ \begin{array}{l}{x_1} > 0\\{x_2} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}.x_2 > 0.
Suy ra \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = - \dfrac{3}{{{x_1}{x_2}}} < 0 \Rightarrow f\left( x \right) nghịch biến trên \left( {0; + \infty } \right).
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f\left( x \right) = \dfrac{{x - 3}}{{x + 5}} trên khoảng \left( { - \infty ; - 5} \right) và trên khoảng \left( { - 5; + \infty } \right). Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \left( {\dfrac{{{x_1} - 3}}{{{x_1} + 5}}} \right) - \left( {\dfrac{{{x_2} - 3}}{{{x_2} + 5}}} \right)
= \dfrac{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} + 5} \right) - \left( {{x_2} - 3} \right)\left( {{x_1} + 5} \right)}}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}} = \dfrac{{8\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}}.
Với mọi {x_1},{\rm{ }}{x_2} \in \left( { - \infty ; - 5} \right) và {x_1} < {x_2}. Ta có \left\{ \begin{array}{l}{x_1} < - 5\\{x_2} < - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + 5 < 0\\{x_2} + 5 < 0\end{array} \right..
Suy ra \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{8}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}} > 0 \Rightarrow f\left( x \right) đồng biến trên \left( { - \infty ; - 5} \right).
Với mọi {x_1},{\rm{ }}{x_2} \in \left( { - 5; + \infty } \right) và {x_1} < {x_2}. Ta có \left\{ \begin{array}{l}{x_1} > - 5\\{x_2} > - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + 5 > 0\\{x_2} + 5 > 0\end{array} \right..
Suy ra \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{8}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}} > 0 \Rightarrow f\left( x \right) đồng biến trên \left( { - 5; + \infty } \right).
Cho hàm số f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{2\sqrt {x + 2} - 3}}{{x - 1}}}&{x \ge 2}\\{{x^2}{\rm{ + 1}}}&{x < 2}\end{array}} \right.. Tính P = f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right).
Khi x \ge 2 thì f\left( 2 \right) = \dfrac{{2\sqrt {2 + 2} - 3}}{{2 - 1}} = 1.
Khi x < 2 thì f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 5.
Vậy f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right) = 6.
Tìm tập xác định {\rm{D}} của hàm số y = \dfrac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 16} }}.
Hàm số xác định khi {x^2} - 16 > 0 \Leftrightarrow {x^2} > 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\x < - 4\end{array} \right.
Vậy tập xác định của hàm số là {\rm{D}} = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right).
Cho đồ thị (H) của hàm số y = \dfrac{2}{{x + 1}} - 3. Muốn có đồ thị của hàm số y = \dfrac{{7 - 5x}}{{x - 1}} thì ta phải tịnh tiến (H) như thế nào?
Kí hiệu f\left( x \right) = \dfrac{{7 - 5x}}{{x - 1}}, ta có
\dfrac{{7 - 5x}}{{x - 1}} = \dfrac{{ - 5\left( {x - 1} \right) + 2}}{{x - 1}} = \dfrac{2}{{x - 1}} - 3 - 2 = f\left( {x - 2} \right) - 3
Vậy muốn có đồ thị của hàm số y = \dfrac{{7 - 5x}}{{x - 1}} ta phải tịnh tiến (H) sang phải 2 đơn vị và xuống dưới 3 đơn vị.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = - {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2 nghịch biến trên khoảng \left( {1;2} \right).
Với mọi {x_1} \ne {x_2}, ta có
\dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{{\left[ { - x_1^2 + \left( {m - 1} \right){x_1} + 2} \right] - \left[ { - x_2^2 + \left( {m - 1} \right){x_2} + 2} \right]}}{{{x_1} - {x_2}}} = - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + m - 1
Để hàm số nghịch biến trên \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + m - 1 < 0, với mọi {x_1},{x_2} \in \left( {1;2} \right)
\Leftrightarrow m < \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1, với mọi {x_1},{x_2} \in \left( {1;2} \right)
\Leftrightarrow m < \left( {1 + 1} \right) + 1 = 3.
Biết rằng khi m = {m_0} thì hàm số f\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2x + m - 1 là hàm số lẻ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Tập xác định {\rm{D}} = \mathbb{R} nên \forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}
Ta có f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} + \left( {{m^2} - 1} \right){\left( { - x} \right)^2} + 2\left( { - x} \right) + m - 1 = - {x^3} + \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - 2x + m - 1.
Để hàm số đã cho là hàm số lẻ khi f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right), với mọi x \in {\rm{D}}
\Leftrightarrow - {x^3} + \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - 2x + m - 1 = - \left[ {{x^3} + \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2x + m - 1} \right], với mọi x \in {\rm{D}}
\Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right) = 0, với mọi x \in {\rm{D}}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1 \in \left( {\dfrac{1}{2};3} \right).
Tập xác định của hàm số y = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}} là
ĐK: {x^2} + 4 \ne 0.
Do {x^2} + 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R} nên TXĐ: D = \mathbb{R}.
Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn trên tập xác định của nó?
Xét đáp án D ta có:
TXĐ: D = R nên \forall x \in D \Rightarrow - x \in D.
Đặt y = f\left( x \right) = - {x^4} + 3{x^2} + 1 ta có:
\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = - {\left( { - x} \right)^4} + 3{\left( { - x} \right)^2} + 1\\f\left( { - x} \right) = - {x^4} + 3{x^2} + 1\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array}
Vậy hàm số y = - {x^4} + 3{x^2} + 1 là hàm số chẵn.
