Biết rằng khi \(m = {m_0}\) thì hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2x + m - 1\) là hàm số lẻ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\) nên \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow  - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} + \left( {{m^2} - 1} \right){\left( { - x} \right)^2} + 2\left( { - x} \right) + m - 1 =  - {x^3} + \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - 2x + m - 1\).

Để hàm số đã cho là hàm số lẻ khi \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\), với mọi \(x \in {\rm{D}}\)

\( \Leftrightarrow  - {x^3} + \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - 2x + m - 1 =  - \left[ {{x^3} + \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2x + m - 1} \right]\), với mọi \(x \in {\rm{D}}\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right) = 0\), với mọi \(x \in {\rm{D}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1 \in \left( {\dfrac{1}{2};3} \right).\)