Đại cương về hàm số

Hàm số $y = \dfrac{{9x - 1}}{{x + 6}}$ xác định khi và chỉ khi $x + 6 \ne 0$

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$.

Tập xác định $D = \left[ {1; + \infty } \right)$..

$y = \sqrt { - 3x - 2}  - \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x - 4}}$.

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} - 3x - 2 \ge 0\\{x^2} - 3x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le  - \dfrac{2}{3}\\x \ne  - 1\\x \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le  - \dfrac{2}{3}\\x \ne  - 1\end{array} \right..$

Vậy tập xác định của hàm số là  $D = \left( { - \infty ; - \dfrac{2}{3}} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}.$

Hàm số $y = \sqrt {2m + 3 - x}$ xác định $\Leftrightarrow 2m + 3 - x \ge 0$ $\Leftrightarrow x \le 2m + 3$

$\Rightarrow$ TXĐ của hàm số đã cho là: $D = \left( { - \infty ;\,\,2m + 3} \right]$

Hàm số đã cho xác định trên $\left( { - 1;\,\,3} \right)$ $\Leftrightarrow \left( { - 1;\,\,3} \right) \subset D$ $\Leftrightarrow 2m + 3 \ge 3$ $\Leftrightarrow m \ge 0.$

Vậy $m \ge 0$ thì hàm số đã cho xác định trên $\left( { - 1;\,\,3} \right).$

Xét đáp án A: $y = \sqrt {x + 2}  - \sqrt {2 - x} \,$có TXĐ: $D = \left[ { - 2;2} \right]$

Ta có: $\forall \,\,x \in D \Rightarrow  - x \in D$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = \sqrt { - x + 2}  - \sqrt {2 - \left( { - x} \right)} \\\,\,\, = \sqrt {2 - x}  - \sqrt {2 + x} \\\,\,\, =  - \left( {\sqrt {2 + x}  - \sqrt {2 - x} } \right) =  - f\left( x \right)\end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = \sqrt {x + 2}  - \sqrt {2 - x} \,$ là hàm số lẻ.           

Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

+) Xét đáp án A: $y =  - 2{x^2}$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Với $\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$ và $f\left( { - x} \right) =  - 2{\left( { - x} \right)^2} =  - 2{x^2} = f\left( x \right)$$\Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm số chẵn.

+) Xét đáp án B:  $y = 5{x^6} + 1$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Với $\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$  và $f\left( { - x} \right) = 5{\left( { - x} \right)^6} + 1 = 5{x^6} + 1 = f\left( x \right)$$\Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm số chẵn.

+) Xét đáp án C: $y =  - 3{x^3}$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Với $\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$  và $f\left( { - x} \right) =  - 3{\left( { - x} \right)^3} = 3{x^3} =  - f\left( x \right)$ $\Rightarrow f\left( x \right)$là hàm số lẻ.

+) Xét đáp án D: $y =  - 4{x^4}$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Với $\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$ và $f\left( { - x} \right) =  - 4{\left( { - x} \right)^4} =  - 4{x^2} = f\left( x \right)$$\Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm số chẵn.

+) Xét hàm số: $y = {x^4} - {x^3} + 2$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}.$

Với $\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow  - x \in \mathbb{R}$ ta có: $f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^4} - {\left( { - x} \right)^3} + 2$ $= {x^4} + {x^3} + 2 \ne  \pm f\left( x \right)$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = {x^4} - {x^3} + 2$ không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số: $y = x$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}.$

Với $\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow  - x \in \mathbb{R}$ ta có: $f\left( { - x} \right) =  - x =  - f\left( x \right)$ 

$\Rightarrow$ Hàm số $y = x$ là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số: $y = \sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}$ có TXĐ: $D = \left[ { - 1;\,\,1} \right]$

Với $\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow  - x \in \mathbb{R}$ ta có: $f\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 - \left( { - x} \right)}$$= \sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x}  = f\left( x \right)$   

$\Rightarrow$ Hàm số $y = \sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}$ là hàm số chẵn.

+) Xét hàm số: $y = 3{x^3} + 2x$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}.$

Với $\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow  - x \in \mathbb{R}$ ta có: $f\left( { - x} \right) = 3{\left( { - x} \right)^3} + 2\left( { - x} \right)$  $=  - \left( {3{x^3} + 2x} \right) =  - f\left( x \right)$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = 3{x^3} + 2x$ là hàm số lẻ.

Như vậy có 1 hàm số chẵn trong các hàm số đã cho.

Hàm số $y = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} + \dfrac{{x - 5}}{{\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} }}$ xác định

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0\\4{x^2} - 4x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 3\\{\left( {2x - 1} \right)^2} > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 3\\x \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow D = \left( { - 3; + \infty } \right)\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}$

Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - x$:

Tập xác định $D = \mathbb{R}$

$\Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$

Ta có: $f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} - \left( { - x} \right) =  - {x^3} + x$$=  - f\left( x \right)$

$\Rightarrow$ $f\left( x \right)$ là hàm lẻ nên $f\left( x \right)$ đối xứng qua gốc tọa độ $\Rightarrow$ Đáp án B và D đúng, C sai.

Thay $x = 1$ vào hàm số $\Rightarrow f\left( 1 \right) = {1^2} - 1 = 0 \Rightarrow A\left( {1;0} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $\Rightarrow$ Đáp án A đúng.

Vậy đáp án C sai.

Điều kiện xác định của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{{x^2} - x}}$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x - 2}  \ge 0\\{x^2} - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ne 1,x \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow x \ge 2$

Tập xác định $\left[ {2; + \infty } \right)$

Hàm số xác định

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {m^2} \ge 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\{x^2} - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} \ge m$.

Để hàm số xác định trên R thì ${x^2} \ge m\,\,\forall x \in R$.

Mà ${x^2} \ge 0\,\,\forall x \Rightarrow m \le 0$.

Vậy $m \in \left( { - \infty ;0} \right]$.

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ne 3\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}$

Đặt $y = f\left( x \right) = 2\left| {x-1} \right| + 3\left| x \right| - 2$.

Ta có: $f\left( 2 \right) = 2\left| {2-1} \right| + 3\left| 2 \right| - 2 = 6$ nên $\left( {2;6} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Ta thấy $x = 4 \in \left( {2;5} \right] \Rightarrow f\left( 4 \right) = {4^2} - 1 = 15$.

${x^2} - x + 3 = {x^2} - 2.\dfrac{1}{2}.x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{{11}}{4} = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0,\forall x \in R$

Vậy tập xác định của hàm số là $R$.

- Hàm số $y = \sqrt {3 - x}$ luôn xác định trên $\left( { - \infty ;0} \right)$.

- Hàm số $y = \sqrt {\dfrac{1}{x}}$ xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

- Điểm $x = 0$ không nằm trong tập xác định nào, do đó hàm số không xác định tại $x = 0$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = R\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2m + 1}}$ xác định trên $\left[ {0;1} \right)$ nếu:

$x - 2m + 1 \ne 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right) \Leftrightarrow x \ne 2m - 1,\forall x \in \left[ {0;1} \right)$ $\Leftrightarrow 2m - 1 \notin [0;1)  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\2m - 1 \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{2}\\m \ge 1\end{array} \right.$

Vì $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ cùng đồng biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nên với ${x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right)$  mà ${x_1} < {x_2}$ thì:

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\\g\left( {{x_1}} \right) < g\left( {{x_2}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) + g\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right) + g\left( {{x_2}} \right)$

Do đó $y = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ cũng đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$.

Chọn A.

Lấy $- 1 < {x_1} < {x_2} < 0$ thì ${x_2} - {x_1} > 0$ ta có:

$T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = 1 > 0,\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - 1;0} \right)$  nên đáp án A đúng.

$T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{{{x_2}}} - \dfrac{1}{{{x_1}}}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{{x_1} - {x_2}}}{{{x_1}{x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}} =  - \dfrac{1}{{{x_1}{x_2}}} < 0,\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - 1;0} \right)$ nên B sai.

$T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\left| {{x_2}} \right| - \left| {{x_1}} \right|}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{ - {x_2} + {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} =  - 1 < 0,\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - 1;0} \right)$ nên C sai.

$T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{x_2^2 - x_1^2}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_2} + {x_1} < 0,\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - 1;0} \right)$ nên D sai.

Ta thấy các hàm số đều có TXĐ là $D = R \Rightarrow  - x \in R$.

$f\left( { - x} \right) = \left| { - x} \right| = \left| x \right| = f\left( x \right)$ nên hàm số $y = \left| x \right|$ là hàm số chẵn.

$f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + 4\left( { - x} \right) = {x^2} - 4x \ne {x^2} + 4x = f\left( x \right)$ nên hàm số $y = {x^2} + 4x$ không chẵn.

$f\left( { - x} \right) =  - {\left( { - x} \right)^4} + 2{\left( { - x} \right)^2} =  - {x^4} + 2{x^2} = f\left( x \right)$ nên hàm số $y =  - {x^4} + 2{x^2}$ là hàm số chẵn.