Hàm số \(y = \dfrac{{9x - 1}}{{x + 6}}\) xác định khi và chỉ khi
Hàm số \(y = \dfrac{{9x - 1}}{{x + 6}}\) xác định khi và chỉ khi \(x + 6 \ne 0\)
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 1} + \dfrac{1}{{x + 4}}.\)
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\).
Tập xác định \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\)..
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt { - 3x - 2} - \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x - 4}}\) là:
\(y = \sqrt { - 3x - 2} - \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x - 4}}\).
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x - 2 \ge 0\\{x^2} - 3x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{2}{3}\\x \ne - 1\\x \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{2}{3}\\x \ne - 1\end{array} \right..\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - \dfrac{2}{3}} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {2m + 3 - x} \) xác định trên khoảng \(\left( { - 1;\,\,3} \right).\)
Hàm số \(y = \sqrt {2m + 3 - x} \) xác định \( \Leftrightarrow 2m + 3 - x \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \le 2m + 3\)
\( \Rightarrow \) TXĐ của hàm số đã cho là: \(D = \left( { - \infty ;\,\,2m + 3} \right]\)
Hàm số đã cho xác định trên \(\left( { - 1;\,\,3} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( { - 1;\,\,3} \right) \subset D\) \( \Leftrightarrow 2m + 3 \ge 3\) \( \Leftrightarrow m \ge 0.\)
Vậy \(m \ge 0\) thì hàm số đã cho xác định trên \(\left( { - 1;\,\,3} \right).\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
Xét đáp án A: \(y = \sqrt {x + 2} - \sqrt {2 - x} \,\)có TXĐ: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)
Ta có: \(\forall \,\,x \in D \Rightarrow - x \in D\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = \sqrt { - x + 2} - \sqrt {2 - \left( { - x} \right)} \\\,\,\, = \sqrt {2 - x} - \sqrt {2 + x} \\\,\,\, = - \left( {\sqrt {2 + x} - \sqrt {2 - x} } \right) = - f\left( x \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \sqrt {x + 2} - \sqrt {2 - x} \,\) là hàm số lẻ.
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
+) Xét đáp án A: \(y = - 2{x^2}\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Với \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - 2{\left( { - x} \right)^2} = - 2{x^2} = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
+) Xét đáp án B: \(y = 5{x^6} + 1\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Với \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = 5{\left( { - x} \right)^6} + 1 = 5{x^6} + 1 = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
+) Xét đáp án C: \(y = - 3{x^3}\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Với \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - 3{\left( { - x} \right)^3} = 3{x^3} = - f\left( x \right)\) \( \Rightarrow f\left( x \right)\)là hàm số lẻ.
+) Xét đáp án D: \(y = - 4{x^4}\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Với \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - 4{\left( { - x} \right)^4} = - 4{x^2} = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số chẵn: \(y = {x^4} - {x^3} + 2;\,\,\,y = x;\)\(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} ;\) \(y = 3{x^3} + 2x.\)
+) Xét hàm số: \(y = {x^4} - {x^3} + 2\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\)
Với \(\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow - x \in \mathbb{R}\) ta có: \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^4} - {\left( { - x} \right)^3} + 2\) \( = {x^4} + {x^3} + 2 \ne \pm f\left( x \right)\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = {x^4} - {x^3} + 2\) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
+) Xét hàm số: \(y = x\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\)
Với \(\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow - x \in \mathbb{R}\) ta có: \(f\left( { - x} \right) = - x = - f\left( x \right)\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = x\) là hàm số lẻ.
+) Xét hàm số: \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \) có TXĐ: \(D = \left[ { - 1;\,\,1} \right]\)
Với \(\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow - x \in \mathbb{R}\) ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 - \left( { - x} \right)} \)\( = \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} = f\left( x \right)\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \) là hàm số chẵn.
+) Xét hàm số: \(y = 3{x^3} + 2x\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\)
Với \(\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow - x \in \mathbb{R}\) ta có: \(f\left( { - x} \right) = 3{\left( { - x} \right)^3} + 2\left( { - x} \right)\) \( = - \left( {3{x^3} + 2x} \right) = - f\left( x \right)\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = 3{x^3} + 2x\) là hàm số lẻ.
Như vậy có 1 hàm số chẵn trong các hàm số đã cho.
Tập xác định \(D\) của hàm số: \(y = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} + \dfrac{{x - 5}}{{\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} }}\) là:
Hàm số \(y = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} + \dfrac{{x - 5}}{{\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} }}\) xác định
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0\\4{x^2} - 4x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 3\\{\left( {2x - 1} \right)^2} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 3\\x \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D = \left( { - 3; + \infty } \right)\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x\):
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} - \left( { - x} \right) = - {x^3} + x\)\( = - f\left( x \right)\)
\( \Rightarrow \) \(f\left( x \right)\) là hàm lẻ nên \(f\left( x \right)\) đối xứng qua gốc tọa độ \( \Rightarrow \) Đáp án B và D đúng, C sai.
Thay \(x = 1\) vào hàm số \( \Rightarrow f\left( 1 \right) = {1^2} - 1 = 0 \Rightarrow A\left( {1;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.
Vậy đáp án C sai.
Tìm tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{{x^2} - x}}\).
Điều kiện xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{{x^2} - x}}\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x - 2} \ge 0\\{x^2} - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ne 1,x \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow x \ge 2\)
Tập xác định \(\left[ {2; + \infty } \right)\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + {m^2}} + \sqrt {{x^2} - m} \) có tập xác định là R.
Hàm số xác định
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {m^2} \ge 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\{x^2} - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} \ge m\).
Để hàm số xác định trên R thì \({x^2} \ge m\,\,\forall x \in R\).
Mà \({x^2} \ge 0\,\,\forall x \Rightarrow m \le 0\).
Vậy \(m \in \left( { - \infty ;0} \right]\).
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x + 2} - \dfrac{2}{{x - 3}}\).
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ne 3\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $y = 2\left| {x-1} \right| + 3\left| x \right| - 2$?
Đặt \(y = f\left( x \right) = 2\left| {x-1} \right| + 3\left| x \right| - 2\).
Ta có: \(f\left( 2 \right) = 2\left| {2-1} \right| + 3\left| 2 \right| - 2 = 6\) nên \(\left( {2;6} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.
Cho hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{x - 1}}{\rm{ }},{\rm{ }}x \in \left( { - \infty ;0} \right)\\\sqrt {x + 1} {\rm{ }},{\rm{ }}x \in \left[ {0;2} \right]\\{x^2} - 1{\rm{ }},{\rm{ }}x \in \left( {2;5} \right]\end{array} \right.$. Tính \(f\left( 4 \right)\), ta được kết quả:
Ta thấy \(x = 4 \in \left( {2;5} \right] \Rightarrow f\left( 4 \right) = {4^2} - 1 = 15\).
Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - x + 3}}$ là
${x^2} - x + 3 = {x^2} - 2.\dfrac{1}{2}.x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{{11}}{4} = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0,\forall x \in R$
Vậy tập xác định của hàm số là \(R\).
Tập xác định của hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {3 - x} ,x \in \left( { - \infty ;0} \right)\\\sqrt {\dfrac{1}{x}} ,x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.$ là:
- Hàm số \(y = \sqrt {3 - x} \) luôn xác định trên $\left( { - \infty ;0} \right)$.
- Hàm số \(y = \sqrt {\dfrac{1}{x}} \) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
- Điểm \(x = 0\) không nằm trong tập xác định nào, do đó hàm số không xác định tại \(x = 0\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2m + 1}}$ xác định trên $\left[ {0;1} \right)$ khi:
Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2m + 1}}$ xác định trên $\left[ {0;1} \right)$ nếu:
\(x - 2m + 1 \ne 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right) \Leftrightarrow x \ne 2m - 1,\forall x \in \left[ {0;1} \right)\) \(\Leftrightarrow 2m - 1 \notin [0;1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\2m - 1 \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{2}\\m \ge 1\end{array} \right.\)
Cho hai hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ cùng đồng biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$. Có thể kết luận gì về chiều biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {a;b} \right)$?
Vì $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ cùng đồng biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nên với \({x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right)\) mà \({x_1} < {x_2}\) thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\\g\left( {{x_1}} \right) < g\left( {{x_2}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) + g\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right) + g\left( {{x_2}} \right)\)
Do đó \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) cũng đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\).
Chọn A.
Trong các hàm số sau, hàm số nào tăng trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$?
Lấy \( - 1 < {x_1} < {x_2} < 0\) thì \({x_2} - {x_1} > 0\) ta có:
\(T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = 1 > 0,\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - 1;0} \right)\) nên đáp án A đúng.
\(T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{{{x_2}}} - \dfrac{1}{{{x_1}}}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{{x_1} - {x_2}}}{{{x_1}{x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}} = - \dfrac{1}{{{x_1}{x_2}}} < 0,\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - 1;0} \right)\) nên B sai.
\(T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\left| {{x_2}} \right| - \left| {{x_1}} \right|}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{ - {x_2} + {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = - 1 < 0,\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - 1;0} \right)\) nên C sai.
\(T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{x_2^2 - x_1^2}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_2} + {x_1} < 0,\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - 1;0} \right)\) nên D sai.
Trong các hàm số sau đây: $y = \left| x \right|$, $y = {x^2} + 4x$, $y = - {x^4} + 2{x^2}$ có bao nhiêu hàm số chẵn?
Ta thấy các hàm số đều có TXĐ là \(D = R \Rightarrow - x \in R\).
\(f\left( { - x} \right) = \left| { - x} \right| = \left| x \right| = f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = \left| x \right|\) là hàm số chẵn.
\(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + 4\left( { - x} \right) = {x^2} - 4x \ne {x^2} + 4x = f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = {x^2} + 4x\) không chẵn.
$f\left( { - x} \right) = - {\left( { - x} \right)^4} + 2{\left( { - x} \right)^2} = - {x^4} + 2{x^2} = f\left( x \right)$ nên hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}\) là hàm số chẵn.
