Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
Các hàm số đã cho có TXĐ là \(R\) và có $-x \in R$
Đáp án A: \(f\left( { - x} \right) = - \dfrac{{ - x}}{2} = \dfrac{x}{2} = - f\left( x \right)\) nên A đúng.
Đáp án B : \(f\left( { - x} \right) = - \dfrac{{ - x}}{2} + 1 = \dfrac{x}{2} + 1 \ne - f\left( x \right)\) nên B sai.
Đáp án C : \(f\left( { - x} \right) = - \dfrac{{\left( { - x} \right) - 1}}{2} = \dfrac{{x + 1}}{2} \ne - f\left( x \right)\) nên C sai.
Đáp án D : $f\left( { - x} \right) = - \dfrac{{ - x}}{2} + 2 = \dfrac{x}{2} + 2 \ne - f\left( x \right)$ nên D sai.
Xét tính chẵn, lẻ của hai hàm số $f\left( x \right) = \left| {x + 2} \right|-\left| {x - 2} \right|,g\left( x \right) = -\left| x \right|$
Các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) đều xác định trên \(R\) và có $-x \in R$
Ta có :
\(f\left( { - x} \right) = \left| { - x + 2} \right| - \left| { - x - 2} \right| = \left| {x - 2} \right| - \left| {x + 2} \right| = - f\left( x \right)\) nên \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
\(g\left( { - x} \right) = - \left| { - x} \right| = - \left| x \right| = g\left( x \right)\) nên \(y = g\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
Xét tính chất chẵn lẻ của hàm số $y = 2{x^3} + 3x + 1$. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?
TXĐ : \(R\).
Ta có : \(f\left( { - x} \right) = 2.{\left( { - x} \right)^3} + 3.\left( { - x} \right) + 1 = - 2{x^3} - 3x + 1\)
Do đó \(y = f\left( x \right)\) là hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số chẵn?
TXĐ : \(R\).
Đáp án A : \(f\left( { - x} \right) = \left| { - x + 1} \right| + \left| {1 - \left( { - x} \right)} \right| = \left| {x - 1} \right| + \left| {x + 1} \right| = f\left( x \right)\) nên A đúng.
Đáp án B : $f\left( { - x} \right) = \left| { - x + 1} \right| - \left| {1-\left( { - x} \right)} \right| = \left| {x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = - f\left( x \right)$ nên B sai.
Đáp án C : $f\left( { - x} \right) = \left| {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} \right| + \left| {1-{{\left( { - x} \right)}^2}} \right| = \left| {{x^2} + 1} \right| + \left| {1 - {x^2}} \right| = f\left( x \right)$ nên C đúng.
Đáp án D: $f\left( { - x} \right) = \left| {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} \right| - \left| {1-{{\left( { - x} \right)}^2}} \right| = \left| {{x^2} + 1} \right| - \left| {1 - {x^2}} \right| = f\left( x \right)$ nên D đúng.
Cho hàm số: $y = f\left( x \right) = \left| {2x - 3} \right|.$ Tìm \(x\) để$f\left( x \right) = 3.$
Ta có: $f\left( x \right) = \left| {2x - 3} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3 = 3\\2x - 3 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 0\end{array} \right.$
Vậy \(x = 3\) hoặc \(x = 0\).
Câu nào sau đây đúng?
+) Hàm số $y = {a^2}x + b$ đồng biến khi \({a^2} > 0 \Leftrightarrow a \ne 0\) nên A, B và D sai.
+) Hàm số $y = - {a^2}x + b$ nghịch biến khi \( - {a^2} < 0 \Leftrightarrow a \ne 0\) nên C đúng.
Xét sự biến thiên của hàm số $y = \dfrac{1}{{{x^2}}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
\(T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{{x_2^2}} - \dfrac{1}{{x_1^2}}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{x_1^2 - x_2^2}}{{x_1^2.x_2^2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}} = - \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{x_1^2.x_2^2}}\)
+) Nếu \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\) thì \(T > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
+) Nếu \({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) thì \(T < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Xét sự biến thiên của hàm số $y = \dfrac{x}{{x - 1}}$. Chọn khẳng định đúng.
Hàm số xác định trên \(R\backslash \left\{ 1 \right\} = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Ta có: \(T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\dfrac{{{x_2}}}{{{x_2} - 1}} - \dfrac{{{x_1}}}{{{x_1} - 1}}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}} = - \dfrac{1}{{\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)}}\)
+) Nếu \({x_1},{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)\) thì \({x_1} - 1 > 0;{x_2} - 1 > 0 \Rightarrow T < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
+) Nếu \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;1} \right)\) thì \({x_1} - 1 < 0;{x_2} - 1 < 0 \Rightarrow T < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Cho hàm số:$f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x + 1}},{\rm{ }}x \ge 0\\\dfrac{1}{{x - 1}},{\rm{ }}x < 0\end{array} \right.$. Giá trị $f\left( 0 \right),f\left( 2 \right),f\left( { - 2} \right)$ là
Ta thấy:
\(x = 0 \ge 0\) nên \(f\left( 0 \right) = \dfrac{0}{{0 + 1}} = 0\).
\(x = 2 \ge 0\) nên \(f\left( 2 \right) = \dfrac{2}{{2 + 1}} = \dfrac{2}{3}\).
\(x = - 2 < 0 \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = \dfrac{1}{{ - 2 - 1}} = - \dfrac{1}{3}\).
Hàm số $y = \sqrt {\dfrac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 2}}} $ có tập xác định là:
Hàm số $y = \sqrt {\dfrac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 2}}} $ xác định nếu \(\dfrac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 2}} \ge 0\).
Ta có: \(\left| x \right| - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right. ; x^3=0 \Leftrightarrow x=0\)
Xét dấu biểu thức \(\dfrac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 2}}\) ta có:
Khi đó tập xác định của hàm số là $\left( { - 2;0} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Tịnh tiến đồ thị hàm số lên trên \(3\) đơn vị rồi qua phải \(2\) đơn vị ta được đồ thị hàm số không đi qua điểm nào dưới đây?
Tịnh tiến đồ thị hàm số lên trên \(3\) đơn vị rồi qua phải \(2\) đơn vị ta được đồ thị hàm số:
\(y = {\left( {x - 2} \right)^3} - 3{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 + 3\) hay \(y = {\left( {x - 2} \right)^3} - 3{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\).
Với \(x = 4\) thì \(y = 0\) nên A đúng.
Với \(x = 0\) thì \(y = -16\) nên B sai.
Với \(x = 2\) thì \(y = 4\) nên C đúng.
Với \(x = 3\) thì \(y = 2\) nên D đúng.
Cho hàm số \(y = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 1\left( {m \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Tịnh tiến \(\left( {{C_m}} \right)\) qua trái \(1\) đơn vị ta được đồ thị hàm số \(\left( {{C_m}'} \right)\). Giá trị của \(m\) để giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và \(\left( {{C_m}'} \right)\) có hoành độ \(x = \dfrac{1}{4}\) thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?
Phương trình \(\left( {{C_m}'} \right)\): \(y = m{\left( {x + 1} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 1\)
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 1 = m{\left( {x + 1} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 1\\ \Leftrightarrow 2mx + m - 2\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2mx - m + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{m - 2}}{{2m}}\end{array}\)
Giao điểm có hoành độ \(x = \dfrac{1}{4}\) nên \(\dfrac{{m - 2}}{{2m}} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow m = 4\)
Đối chiếu các đáp án ta thấy \(1 < m < 5\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right)x + m - 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}.\)
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left[ { - 3;3} \right]\) nên \(m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).
Tìm điều kiện của tham số để hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) là hàm số chẵn.
Tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\) nên \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)
Để \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn \( \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),{\rm{ }}\forall x \in {\rm{D}}\)
\( \Leftrightarrow a{\left( { - x} \right)^2} + b\left( { - x} \right) + c = a{x^2} + bx + c,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow 2bx = 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow b = 0\).
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x + 5} \).
Ta có: \(y = \sqrt {x + 5} \) xác định khi và chỉ khi \(x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 5\).
\( \Rightarrow \) TXĐ: \(D = \left[ { - 5; + \infty } \right)\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ { - 100;100} \right]\) để hàm số \(y = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 3x + 2m - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}?\)
Để hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\) thì điều kiện xác định \({x^2} - 3x + 2m - 1 \ne 0\,\,\,\forall x\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2m - 1 = 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta < 0\,\,\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9 - 4\left( {2m - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow 9 - 8m + 4 < 0\\ \Leftrightarrow 13 - 8m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{{13}}{8}\end{array}\)
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 100;100} \right]\end{array} \right. \)\(\Rightarrow m \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,4;...;\,\,100} \right\}\)\( \Rightarrow \) có 100-2+1=99 giá trị \(m\) thỏa mãn.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2\left| x \right| + 1,x \ne 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2,\,\,x = 0\end{array} \right.\). Chọn phát biểu đúng?
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2\left| x \right| + 1,\,\,\,x \ne 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0\end{array} \right.\)
TXĐ : \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \) đáp án C sai.
+) \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} - 2\left| { - x} \right| + 1\) \( = {x^2} - 2\left| x \right| + 1\)\( = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số chẵn \( \Rightarrow \) đáp án A sai.
+) \(f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right)\)\( = {\left( { - 3} \right)^2} - 2\left| { - 3} \right| + 1 + {3^2} - 2\left| 3 \right| + 1 = 8\) \( \Rightarrow \)Đáp án B sai.
+) Lấy \({x_1};{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)\), có
\(\begin{array}{l}\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = \dfrac{{x_2^2 - 2\left| {{x_2}} \right| + 1 - \left( {x_1^2 - 2\left| {{x_1}} \right| + 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = \dfrac{{x_2^2 - x_1^2 - 2\left| {{x_2}} \right| + 2\left| {{x_1}} \right| + 1 - 1}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = \dfrac{{x_2^2 - x_1^2 - 2{x_2} + 2{x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\,\,\,\,\left( {{x_1};{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)} \right)\\ = \dfrac{{\left( {x_2^{} - x_1^{}} \right)\left( {x_2^{} + x_1^{}} \right) - 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = {x_2} + {x_1} - 2\end{array}\)
Mà \({x_1};{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow {x_2} + {x_1} - 2 > 0 \)
\(\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.
