Đại cương về hàm số

Các hàm số đã cho có TXĐ là $R$ và có $-x \in R$

Đáp án A: $f\left( { - x} \right) =  - \dfrac{{ - x}}{2} = \dfrac{x}{2} =  - f\left( x \right)$ nên A đúng.

Đáp án B : $f\left( { - x} \right) =  - \dfrac{{ - x}}{2} + 1 = \dfrac{x}{2} + 1 \ne  - f\left( x \right)$ nên B sai.

Đáp án C : $f\left( { - x} \right) =  - \dfrac{{\left( { - x} \right) - 1}}{2} = \dfrac{{x + 1}}{2} \ne  - f\left( x \right)$ nên C sai.

Đáp án D : $f\left( { - x} \right) =  - \dfrac{{ - x}}{2} + 2 = \dfrac{x}{2} + 2 \ne  - f\left( x \right)$ nên D sai.

Các hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ đều xác định trên $R$ và có $-x \in R$

Ta có :

$f\left( { - x} \right) = \left| { - x + 2} \right| - \left| { - x - 2} \right| = \left| {x - 2} \right| - \left| {x + 2} \right| =  - f\left( x \right)$ nên $y = f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.

$g\left( { - x} \right) =  - \left| { - x} \right| =  - \left| x \right| = g\left( x \right)$ nên $y = g\left( x \right)$ là hàm số chẵn.

TXĐ : $R$.

Ta có : $f\left( { - x} \right) = 2.{\left( { - x} \right)^3} + 3.\left( { - x} \right) + 1 =  - 2{x^3} - 3x + 1$

Do đó $y = f\left( x \right)$ là hàm số không chẵn cũng không lẻ.

TXĐ : $R$.

Đáp án A : $f\left( { - x} \right) = \left| { - x + 1} \right| + \left| {1 - \left( { - x} \right)} \right| = \left| {x - 1} \right| + \left| {x + 1} \right| = f\left( x \right)$ nên A đúng.

Đáp án B : $f\left( { - x} \right) = \left| { - x + 1} \right| - \left| {1-\left( { - x} \right)} \right| = \left| {x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| =  - f\left( x \right)$ nên B sai.

Đáp án C : $f\left( { - x} \right) = \left| {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} \right| + \left| {1-{{\left( { - x} \right)}^2}} \right| = \left| {{x^2} + 1} \right| + \left| {1 - {x^2}} \right| = f\left( x \right)$ nên C đúng.

Đáp án D: $f\left( { - x} \right) = \left| {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} \right| - \left| {1-{{\left( { - x} \right)}^2}} \right| = \left| {{x^2} + 1} \right| - \left| {1 - {x^2}} \right| = f\left( x \right)$ nên D đúng.

Ta có: $f\left( x \right) = \left| {2x - 3} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3 = 3\\2x - 3 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 0\end{array} \right.$

Vậy $x = 3$ hoặc $x = 0$.

+) Hàm số $y = {a^2}x + b$ đồng biến khi ${a^2} > 0 \Leftrightarrow a \ne 0$ nên A, B và D sai.

+) Hàm số $y =  - {a^2}x + b$ nghịch biến khi $- {a^2} < 0 \Leftrightarrow a \ne 0$ nên C đúng.

Ta có:

$T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{{x_2^2}} - \dfrac{1}{{x_1^2}}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{x_1^2 - x_2^2}}{{x_1^2.x_2^2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}} =  - \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{x_1^2.x_2^2}}$

+) Nếu ${x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)$ thì $T > 0$ nên hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$.

+) Nếu ${x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)$ thì $T < 0$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hàm số xác định trên $R\backslash \left\{ 1 \right\} = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

Ta có: $T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\dfrac{{{x_2}}}{{{x_2} - 1}} - \dfrac{{{x_1}}}{{{x_1} - 1}}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}} =  - \dfrac{1}{{\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)}}$

+) Nếu ${x_1},{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)$ thì ${x_1} - 1 > 0;{x_2} - 1 > 0 \Rightarrow T < 0$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

+) Nếu ${x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;1} \right)$ thì ${x_1} - 1 < 0;{x_2} - 1 < 0 \Rightarrow T < 0$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;1} \right)$.

Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Ta thấy:

$x = 0 \ge 0$ nên $f\left( 0 \right) = \dfrac{0}{{0 + 1}} = 0$.

$x = 2 \ge 0$ nên $f\left( 2 \right) = \dfrac{2}{{2 + 1}} = \dfrac{2}{3}$.

$x =  - 2 < 0 \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = \dfrac{1}{{ - 2 - 1}} =  - \dfrac{1}{3}$.

Hàm số $y = \sqrt {\dfrac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 2}}}$ xác định nếu $\dfrac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 2}} \ge 0$.

Ta có: $\left| x \right| - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\end{array} \right. ; x^3=0 \Leftrightarrow x=0$

Xét dấu biểu thức $\dfrac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 2}}$ ta có:

Khi đó tập xác định của hàm số là $\left( { - 2;0} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Tịnh tiến đồ thị hàm số lên trên $3$ đơn vị rồi qua phải $2$ đơn vị ta được đồ thị hàm số:

$y = {\left( {x - 2} \right)^3} - 3{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 + 3$ hay $y = {\left( {x - 2} \right)^3} - 3{\left( {x - 2} \right)^2} + 4$.

Với $x = 4$ thì $y = 0$ nên A đúng.

Với $x = 0$ thì $y = -16$ nên B sai.

Với $x = 2$ thì $y = 4$ nên C đúng.

Với $x = 3$ thì $y = 2$ nên D đúng.

Phương trình $\left( {{C_m}'} \right)$: $y = m{\left( {x + 1} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 1$

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l}m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 1 = m{\left( {x + 1} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 1\\ \Leftrightarrow 2mx + m - 2\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2mx - m + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{m - 2}}{{2m}}\end{array}$

Giao điểm có hoành độ $x = \dfrac{1}{4}$ nên $\dfrac{{m - 2}}{{2m}} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow m = 4$

Đối chiếu các đáp án ta thấy $1 < m < 5$.

Tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}.$

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - 1$.

Mà $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in \left[ { - 3;3} \right]$ nên $m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$.

Tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}$ nên $\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow  - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}$

Để $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn $\Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),{\rm{ }}\forall x \in {\rm{D}}$

$\Leftrightarrow a{\left( { - x} \right)^2} + b\left( { - x} \right) + c = a{x^2} + bx + c,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 2bx = 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow b = 0$.

Ta có: $y = \sqrt {x + 5}$ xác định khi và chỉ khi $x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 5$.

$\Rightarrow$ TXĐ: $D = \left[ { - 5; + \infty } \right)$

Để hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$ thì điều kiện xác định ${x^2} - 3x + 2m - 1 \ne 0\,\,\,\forall x$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2m - 1 = 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta  < 0\,\,$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9 - 4\left( {2m - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow 9 - 8m + 4 < 0\\ \Leftrightarrow 13 - 8m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{{13}}{8}\end{array}$

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 100;100} \right]\end{array} \right.$$\Rightarrow m \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,4;...;\,\,100} \right\}$$\Rightarrow$ có 100-2+1=99 giá trị $m$ thỏa mãn.

Xét hàm số: $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2\left| x \right| + 1,\,\,\,x \ne 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0\end{array} \right.$

TXĐ : $D = \mathbb{R} \Rightarrow$ đáp án C sai.

+) $f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} - 2\left| { - x} \right| + 1$ $= {x^2} - 2\left| x \right| + 1$$= f\left( x \right)$$\Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm số chẵn $\Rightarrow$ đáp án A sai.

+) $f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right)$$= {\left( { - 3} \right)^2} - 2\left| { - 3} \right| + 1 + {3^2} - 2\left| 3 \right| + 1 = 8$ $\Rightarrow$Đáp án B sai.

+) Lấy ${x_1};{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)$, có

$\begin{array}{l}\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = \dfrac{{x_2^2 - 2\left| {{x_2}} \right| + 1 - \left( {x_1^2 - 2\left| {{x_1}} \right| + 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = \dfrac{{x_2^2 - x_1^2 - 2\left| {{x_2}} \right| + 2\left| {{x_1}} \right| + 1 - 1}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = \dfrac{{x_2^2 - x_1^2 - 2{x_2} + 2{x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\,\,\,\,\left( {{x_1};{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)} \right)\\ = \dfrac{{\left( {x_2^{} - x_1^{}} \right)\left( {x_2^{} + x_1^{}} \right) - 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\  = {x_2} + {x_1} - 2\end{array}$

Mà ${x_1};{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)$$\Rightarrow {x_2} + {x_1} - 2 > 0$

$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$ $\Rightarrow$ Đáp án D đúng.