Câu hỏi:
2 năm trước
Xét sự biến thiên của hàm số \(f\left( x \right) = x + \dfrac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có
\(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \left( {{x_1} + \dfrac{1}{{{x_1}}}} \right) - \left( {{x_2} + \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right)\)\( = \left( {{x_1} - {x_2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} - \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{x_1}{x_2}}}} \right)\)
Với mọi \({x_1},{\rm{ }}{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)\) và \({x_1} < {x_2}\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} > 1\\{x_2} > 1\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_1} > 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{{x_1}.{x_1}}} < 1.\)
Suy ra \(\dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = 1 - \dfrac{1}{{{x_1}{x_2}}} > 0 \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải:
Lấy \({x_1} < {x_2}\) và thuộc khoảng đang xét, xét dấu của thương \(\dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}}\) suy ra tính đồng biến, nghịch biến.
