Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 5\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Ta có \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \left( {x_1^2 - 4{x_1} + 5} \right) - \left( {x_2^2 - 4{x_2} + 5} \right)\)

                                                                       \( = \left( {x_1^2 - x_2^2} \right) - 4\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2} - 4} \right)\).

Với mọi \({x_1},{\rm{ }}{x_2} \in \left( { - \infty ;2} \right)\) và \({x_1} < {x_2}\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} < 2\\{x_2} < 2\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} < 4\).

Suy ra \(\dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2} - 4} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = {x_1} + {x_2} - 4 < 0\).

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

Với mọi \({x_1},{\rm{ }}{x_2} \in \left( {2; + \infty } \right)\) và \({x_1} < {x_2}\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} > 2\\{x_2} > 2\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} > 4\).

Suy ra \(\dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2} - 4} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = {x_1} + {x_2} - 4 > 0\).

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).