Câu hỏi:
2 năm trước
Trong các hàm số \(y = \left| {x + 2} \right| - \left| {x - 2} \right|,\)\(y = \left| {2x + 1} \right| + \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} ,\)\(y = x\left( {\left| x \right| - 2} \right),\) \(y = \dfrac{{|x + 2015| + |x - 2015|}}{{|x + 2015| - |x - 2015|}}\) có bao nhiêu hàm số lẻ?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Xét \(f\left( x \right) = \left| {x + 2} \right| - \left| {x - 2} \right|\) có TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\) nên \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)
Ta có \(f\left( { - x} \right) = \left| {\left( { - x} \right) + 2} \right| - \left| {\left( { - x} \right) - 2} \right| = \left| { - x + 2} \right| - \left| { - x - 2} \right|\)
\( = \left| {x - 2} \right| - \left| {x + 2} \right| = - \left( {\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 2} \right|} \right) = - f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
Xét \(f\left( x \right) = \left| {2x + 1} \right| + \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} = \left| {2x + 1} \right| + \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} = \left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 1} \right|\) có
TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\) nên \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)
Ta có \(f\left( { - x} \right) = \left| {2\left( { - x} \right) + 1} \right| + \left| {2\left( { - x} \right) - 1} \right| = \left| { - 2x + 1} \right| + \left| { - 2x - 1} \right|\)
\( = \left| {2x - 1} \right| + \left| {2x + 1} \right| = \left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 1} \right| = f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
Xét \(f\left( x \right) = x\left( {\left| x \right| - 2} \right)\) có TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\) nên \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)
Ta có \(f\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right)\left( {\left| { - x} \right| - 2} \right) = - x\left( {\left| x \right| - 2} \right) = - f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{|x + 2015| + |x - 2015|}}{{|x + 2015| - |x - 2015|}}\) có TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) nên \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}\)
Ta có \(f\left( { - x} \right) = \dfrac{{| - x + 2015| + | - x - 2015|}}{{| - x + 2015| - | - x - 2015|}}\)\( = \dfrac{{|x - 2015| + |x + 2015|}}{{|x - 2015| - |x + 2015|}}\)
\( = - \dfrac{{|x + 2015| + |x - 2015|}}{{|x + 2015| - |x - 2015|}} = - f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
Vậy có tất cả 3 hàm số lẻ.
Hướng dẫn giải:
- Tìm TXĐ, kiểm tra \(x \in D \Rightarrow - x \in D\).
- Tính \(f\left( { - x} \right)\) và kiểm tra \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\) thì là hàm số lẻ.
