Câu hỏi:
2 năm trước

Trong mặt phẳng với hệ  tọa độ $Oxy$, cho elíp $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1$ và điểm $C\left( {2;0} \right)$.Tìm tọa độ các điểm $A,{\rm{ }}B$ trên $\left( E \right)$, biết rằng hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành và$\;\Delta ABC$ là tam giác đều và điểm $A$ có tung độ dương

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: a

Giả sử $A\left( {{x_0};{y_0}} \right).$ Do $A,B$ đối xứng nhau qua $Ox$ nên $B\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)$.

Ta có: $A{B^2} = 4y_0^2$ và $A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2.$

Vì $A \in \left( E \right)$ nên $\dfrac{{x_0^2}}{4} + y_0^2 = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \dfrac{{x_0^2}}{4}{\rm{  }}\left( 1 \right)$.

Vì $AB = AC$nên ${\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2{\rm{  }}\left( 2 \right).$

Thay $\left( 1 \right)$vào $\left( 2 \right)$ ta được $7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 0}\\{{x_0} = \dfrac{2}{7} \Rightarrow {y_0} =  \pm \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}}\end{array}} \right.$.

Vì điểm $A$ khác $C$ và $A$ có tung độ dương nên $A\left( {\dfrac{2}{7};{\rm{ }}\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)$ và $B\left( {\dfrac{2}{7};{\rm{ }} - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

- Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) suy ra tọa độ \(B\) đối xứng \(A\) qua \(Ox\).

- Lập hệ phương trình ẩn \({x_0},{y_0}\) và giải hệ tìm \({x_0},{y_0}\).

Câu hỏi khác