Đường thẳng qua M(1;1) và cắt elíp (E):4x2+9y2=36 tại hai điểm M1,M2 sao cho MM1=MM2 có phương trình là
Gọi M1(x1;y1);M2(x2;y2). Ta có M là trung điểm của M2M1⇒{x1+x2=2y1+y2=2.
Ta có {4x12+9y12=364x12+9y12=36⇒4(x2−x1)+9(y2−y1)=0
Vậy →n(4;9) là vectơ pháp tuyến của M1M2.
Vậy phương trình M1M2 là : 4x+9y−13=0.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E):x29+y24=1. Tính tiêu cự của elip (E)
Elip (E):x29+y24=1 có tiêu cự bằng 2c=2.√a2−b2=2√9−4=2√5.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng với mọi điểm M thuộc (E) thì MF1+MF2=10 (F1,F2 là hai tiêu điểm của (E)) và tâm sai của (E) là e=35 .
Ta có với mọi điểm M thuộc (E) thì MF1+MF2=10⇒2a=10⇒a=5
Tâm sai của (E) là e=35⇒c5=35⇒c=3⇒b2=a2−c2=25−9=16
⇒ Phương trình elip (E):x225+y216=1.
Ta có: 4x2+9y2=36⇔x29+y24=1
⇒ Tiêu cự của Elip là 2√9−4=2√5.
Phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 16 và trục lớn bằng 20 là:
Elip có tiêu cự bằng 16⇒2c=16⇒c=8
Elip có trục lớn bằng 20⇒2a=20⇒a=10.
⇒b2=a2−c2=102−82=36
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: x2100+y236=1
Cho elip (E) có phương trình chính tắc là x2a2+y2b2=1. Gọi 2c là tiêu cự của (E). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có a2=b2+c2
Cho elip (E) có tiêu cự là 2c, độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 2a và 2b. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Vì a2=b2+c2 và a,b,c>0 nên ta có a2>c2⇔a>c. Hiển nhiên b<a
Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F1,F2 và có độ dài trục lớn là 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Elip (E) có hai tiêu điểm là F1,F2 ta có 2c=F1F2 .
Vì a2=b2+c2 và a,b,c>0 nên ta có a2>c2⇔a>c. Do đó 2a>F1F2
Cho elip (E):x2+4y2−40=0. Chu vi hình chữ nhật cơ sở là:
Ta có: (E):x2+4y2−40=0⇔x240+y210=1. Suy ra {a=2√10b=√10
Chu vi hình chữ nhật cơ sở là: 2(2a+2b)=2(4√10+2√10)=12√10
Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của (E) là:
Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có b=c
Mặt khác ta có a2=b2+c2 , suy ra a2=2c2 hay a=√2c
Tâm sai của elip là: e=ca=c√2c=1√2
Cho elip (E):x225+y29=1 và cho các mệnh đề:
1. (E) có các tiêu điểm F1(0;−4) và F2(0;4)
2. (E) có tỉ số ca=45
3. (E) có đỉnh A1(−5;0)
4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề trên:
Từ phương trình elip (E):x225+y29=1 ta có {a=5b=3c=√a2−b2=4
Suy ra ta có:
1. (E) có các tiêu điểm F1(−4;0) và F2(4;0) nên (1) sai.
2. (E) có tỉ số ca=45 nên (2) đúng.
3. (E) có đỉnh A1(−5;0) nên (3) đúng.
4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 2b=6 nên (4) sai.
Vậy các mệnh đề sai là (1) và (4).
Elip có độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 8 có phương trình chính tắc là:
Độ dài trục lớn là 12, suy ra 2a=12 hay a=6
Độ dài trục nhỏ là 8, suy ra 2b=8 hay b=4
Vậy elip cần tìm là x236+y216=1
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 12, tiêu cự là 10 là:
Độ dài trục lớn là 12, suy ra 2a=12 hay a=6
Tiêu cự là 10, suy ra 2c=10 hay c=5
Mặt khác, ta có a2=b2+c2, suy ra b2=a2−c2=36−25=11
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 20, tâm sai là e=35 là:
Độ dài trục lớn là 20, suy ra 2a=20 hay a=10
Tâm sai e=35, suy ra ca=35 suy ra c=6
Mặt khác, ta có a2=b2+c2, suy ra b2=a2−c2=100−36=64
Phương trình chính tắc của elip có tiêu cự là 6, tâm sai là e=35.
Tiêu cự elip bằng 6, suy ra 2c=6 hay c=3
Tâm sai e=35 , suy ra ca=35 suy ra a=5
Mặt khác, ta có a2=b2+c2 , suy ra b2=a2−c2=25−9=16
Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là A(5;0) và B(0;3) là:
Elip có hai đỉnh là A(5;0) và B(0;3) suy ra a=5 và b=3. Do đó, phương trình chính tắc của elip là: x225+y29=1
Cho elip chính tắc (E) có tiêu điểm F1(4;0) và một đỉnh là A(5;0). Phương trình chính tắc của elip (E) là:
Elip có tiêu điểm F1(4;0)suy ra c=4, elip có một đỉnh là A(5;0) suy ra a=5
Mặt khác ta có b2=a2−c2=25−16=9
Vậy elip có phương trình là x225+y29=1
Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm là F1(−1;0),F2(1;0) và tâm sai e=15 là:
Elip có hai tiêu điểm là F1(−1;0),F2(1;0) suy ra c=1
Elip có tâm sai e=15 suy ra ca=15⇒a=5
Mặt khác ta có b2=a2−c2=25−1=24
Vậy elip có phương trình là x225+y224=1
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là B(0;−2), tiêu cự là 2√5 là:
Elip có một đỉnh là B(0;−2) suy ra b=2.
Elip có tiêu cự là 2√5 suy ra c=2√5⇔c=√5
Mặt khác ta có a2=b2+c2=4+5=9
Vậy elip có dạng x29+y24=1
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là A(0;−4), tâm sai e=35.
Elip có một đỉnh là A(0;−4)suy ra b = 4.
Tâm sai e = \dfrac{3}{5} suy ra ta có \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}. Vì a,c > 0 nên ta có \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{25}} \Leftrightarrow 25{c^2} - 9{a^2} = 0
Mặt khác ta có {a^2} - {c^2} = {b^2} = 16
Ta có hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 25{c^2} = 0\\{a^2} - {c^2} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{c^2} = 9\end{array} \right.
Vậy phương trình của elip là: \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1