Elip

Gọi ${M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right);{M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)$. Ta có $M$ là trung điểm của ${M_2}{M_1}$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{y_1} + {y_2} = 2\end{array} \right.$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}4{x_1}^2 + {\rm{ }}9{y_1}^2 = {\rm{ }}36\\4{x_1}^2 + {\rm{ }}9{y_1}^2 = {\rm{ }}36\end{array} \right.$$ \Rightarrow 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + 9\left( {{y_2} - {y_1}} \right) = 0$

Vậy $\overrightarrow n \left( {4;9} \right)$ là vectơ pháp tuyến của ${M_1}{M_2}$.

Vậy phương trình ${M_1}{M_2}$ là : $4x{\rm{ }} + {\rm{ }}9y{\rm{ }}-{\rm{ }}13{\rm{ }} = {\rm{ }}0$.

Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\) có tiêu cự bằng \(2c = 2.\sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt {9 - 4}  = 2\sqrt 5 .\)

Ta có với mọi điểm M thuộc \(\left( E \right)\) thì \(M{F_1} + M{F_2} = 10 \Rightarrow 2a = 10 \Rightarrow a = 5\) 

Tâm sai của \(\left( E \right)\) là \(e = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \dfrac{c}{5} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow c = 3 \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16\)

\( \Rightarrow \) Phương trình elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\)  

Ta có:  \(4{x^2} + 9{y^2} = 36 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)

\( \Rightarrow \) Tiêu cự của Elip là \(2\sqrt {9 - 4}  = 2\sqrt 5 .\)

Elip có tiêu cự bằng  \(16 \Rightarrow 2c = 16 \Rightarrow c = 8\)

Elip có trục lớn bằng  \(20 \Rightarrow 2a = 20 \Rightarrow a = 10.\)

\( \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = {10^2} - {8^2} = 36\)

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

Vì \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) và \(a,b,c > 0\) nên ta có  \({a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c\). Hiển nhiên \(b < a\)

Elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) ta có \(2c = {F_1}{F_2}\) .

Vì \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) và \(a,b,c > 0\) nên ta có  \({a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c\). Do đó \(2a > {F_1}{F_2}\)

Ta có: \((E):{x^2} + 4{y^2} - 40 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{40}} + \dfrac{{{y^2}}}{{10}} = 1\). Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\sqrt {10} \\b = \sqrt {10} \end{array} \right.\)

Chu vi hình chữ nhật cơ sở là: \(2\left( {2a + 2b} \right) = 2\left( {4\sqrt {10}  + 2\sqrt {10} } \right) = 12\sqrt {10} \)

Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có \(b = c\)

Mặt khác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) , suy ra \({a^2} = 2{c^2}\) hay \(a = \sqrt 2 c\)

Tâm sai của elip là: \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{c}{{\sqrt 2 c}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Từ phương trình elip \((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\\c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 4\end{array} \right.\)

Suy ra ta có:

1. \((E)\) có các tiêu điểm \({F_1}( - 4;0)\) và \({F_2}(4;0)\) nên (1) sai.

2. \((E)\) có tỉ số \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\) nên (2) đúng.

3. \((E)\) có đỉnh \({A_1}( - 5;0)\) nên (3) đúng.

4. \((E)\) có độ dài trục nhỏ bằng \(2b = 6\) nên (4) sai.

Vậy các mệnh đề sai là (1) và (4).

Độ dài trục lớn là $12,$ suy ra \(2a = 12\)  hay \(a = 6\)

Độ dài trục nhỏ là $8,$ suy ra \(2b = 8\)  hay \(b = 4\)

Vậy elip cần tìm là \(\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Độ dài trục lớn là $12,$ suy ra \(2a = 12\)  hay \(a = 6\)

Tiêu cự là $10,$ suy ra \(2c = 10\)  hay \(c = 5\)

Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 36 - 25 = 11\)

Độ dài trục lớn là $20,$ suy ra \(2a = 20\)  hay \(a = 10\)

Tâm sai \(e = \dfrac{3}{5}\), suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}\)  suy ra \(c = 6\)

Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 100 - 36 = 64\)

Tiêu cự elip bằng 6, suy ra \(2c = 6\)  hay \(c = 3\)

Tâm sai \(e = \dfrac{3}{5}\) , suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}\)  suy ra \(a = 5\)

Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) , suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16\)

Elip có  hai đỉnh là \(A(5;0)\) và \(B(0;3)\) suy ra \(a = 5\) và \(b = 3\). Do đó, phương trình chính tắc của elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Elip có tiêu điểm \({F_1}(4;0)\)suy ra \(c = 4\), elip có một đỉnh là  \(A(5;0)\) suy ra \(a = 5\)

Mặt khác ta có \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 16 = 9\)

Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Elip có  hai tiêu điểm là \({F_1}( - 1;0),{F_2}(1;0)\) suy ra \(c = 1\)

 Elip có tâm sai \(e = \dfrac{1}{5}\) suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow a = 5\)

Mặt khác ta có \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 1 = 24\)

Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{24}} = 1\)

Elip có một đỉnh là \(B(0; - 2)\) suy ra \(b = 2\).

Elip có tiêu cự là  \(2\sqrt 5 \) suy ra \(c = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \)

Mặt khác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 4 + 5 = 9\)

Vậy elip có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)

Elip có một đỉnh là \(A(0; - 4)\)suy ra \(b = 4\).

Tâm sai  \(e = \dfrac{3}{5}\) suy ra ta có \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}\). Vì \(a,c > 0\) nên ta có  \(\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{25}} \Leftrightarrow 25{c^2} - 9{a^2} = 0\)

Mặt khác ta có \({a^2} - {c^2} = {b^2} = 16\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 25{c^2} = 0\\{a^2} - {c^2} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{c^2} = 9\end{array} \right.\)

Vậy phương trình của elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)