Phương trình chính tắc của elip có đỉnh là \(A(2;0)\) và đi qua \(M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})\) là:
Elip có đỉnh là \(A(2;0)\) suy ra \(a = 2\). Phương trình elip cần tìm có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Vì elip qua \(M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})\) nên ta có \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Phương trình chính tắc của elip có đi qua \(M(1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }})\), tiêu cự là $4$ là:
Phương trình elip cần tìm có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Elip có tiêu cự là $4$ suy ra \(2c = 4 \Leftrightarrow c = 2\). Mặt khác ta có: \({a^2} - {b^2} = {c^2} = 4\)
Vì elip qua \(M\left( {1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 4\\\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\end{array} \right. \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\dfrac{1}{{{b^2} + 4}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\dfrac{{5{b^2} + 4\left( {{b^2} + 4} \right)}}{{5{b^2}\left( {{b^2} + 4} \right)}} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\9{b^2} + 16 = 5{b^4} + 20{b^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\5{b^4} + 11{b^2} - 16 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\left[ \begin{array}{l}{b^2} = 1\\{b^2} = \dfrac{{ - 16}}{5}\left( L \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 5\\{b^2} = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{5} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Phương trình chính tắc của elip có đi qua hai điểm \(M(2\sqrt 2 ;\dfrac{1}{3})\) và \(N(2;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3})\) là:
Phương trình elip cần tìm có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Vì elip qua \(M\left( {2\sqrt 2 ;\dfrac{1}{3}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1\)
Vì elip qua \(N\left( {2;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1\\\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Phương trình chính tắc của elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là $8$ và \(e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\) là:
Phương trình elip cần tìm có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng \(4ab\)
Theo bài ra ta có \(4ab = 8 \Leftrightarrow ab = 2 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = 4\)
Elip có \(e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\) suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\). Vì \(c,a > 0\) nên ta có \(\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4{c^2} = 0\)
Mặt khác ta có: \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\3{a^2} - 4{c^2} = 0\\{a^2} - {b^2} = {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - {b^2} = \dfrac{3}{4}{a^2}\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - 4{b^2} = 0\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\\{c^2} = 3\end{array} \right.\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\). Biết rằng, điểm M là điểm có tung độ \({y_M}\) dương thuộc elip \(\left( E \right)\) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(M{F_1}{F_2}\) bằng \(\dfrac{4}{3}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {25 - 9} = 8\)
Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10 \Rightarrow p = \dfrac{{M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2}}}{2} = 9\)
Diện tích tam giác \(M{F_1}{F_2}\) là: \({S_{M{F_1}{F_2}}} = \dfrac{1}{2}{F_1}{F_2}.d\left( {M;Ox} \right) = \dfrac{1}{2}.8.{y_M} = 4\left| {{y_M}} \right| = 4{y_M}\,\,\,\left( {do\,\,{y_M} > 0} \right)\)
Lại có: \({S_{M{F_1}{F_2}}} = p.r \Leftrightarrow 4{y_M} = 9.\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {y_M} = 3 \in {y_M} \in \left( {\sqrt 8 ;5} \right)\)
