Elip

Elip có đỉnh là $A(2;0)$ suy ra $a = 2$. Phương trình elip cần tìm có dạng  $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Vì elip qua $M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})$ nên ta có $\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$

Phương trình elip cần tìm có dạng  $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Elip có tiêu cự là $4$ suy ra $2c = 4 \Leftrightarrow c = 2$. Mặt khác ta có: ${a^2} - {b^2} = {c^2} = 4$

Vì elip qua $M\left( {1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)$ nên ta có $\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 4\\\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\dfrac{1}{{{b^2} + 4}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\dfrac{{5{b^2} + 4\left( {{b^2} + 4} \right)}}{{5{b^2}\left( {{b^2} + 4} \right)}} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\9{b^2} + 16 = 5{b^4} + 20{b^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\5{b^4} + 11{b^2} - 16 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\left[ \begin{array}{l}{b^2} = 1\\{b^2} = \dfrac{{ - 16}}{5}\left( L \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 5\\{b^2} = 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{5} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$

Phương trình elip cần tìm có dạng  $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Vì elip qua $M\left( {2\sqrt 2 ;\dfrac{1}{3}} \right)$ nên ta có $\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1$

Vì elip qua $N\left( {2;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)$ nên ta có $\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1\\\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$

Phương trình elip cần tìm có dạng  $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Diện tích hình chữ nhật cơ sở  bằng  $4ab$

Theo bài ra ta có $4ab = 8 \Leftrightarrow ab = 2 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = 4$

Elip có $e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}$ suy ra $\dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}$. Vì $c,a > 0$ nên ta có $\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4{c^2} = 0$

 Mặt khác ta có: ${a^2} - {b^2} = {c^2}$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\3{a^2} - 4{c^2} = 0\\{a^2} - {b^2} = {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - {b^2} = \dfrac{3}{4}{a^2}\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - 4{b^2} = 0\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\\{c^2} = 3\end{array} \right.$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$

Elip $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {25 - 9}  = 8$

Gọi $M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10 \Rightarrow p = \dfrac{{M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2}}}{2} = 9$

Diện tích tam giác $M{F_1}{F_2}$ là: ${S_{M{F_1}{F_2}}} = \dfrac{1}{2}{F_1}{F_2}.d\left( {M;Ox} \right) = \dfrac{1}{2}.8.{y_M} = 4\left| {{y_M}} \right| = 4{y_M}\,\,\,\left( {do\,\,{y_M} > 0} \right)$

Lại có: ${S_{M{F_1}{F_2}}} = p.r \Leftrightarrow 4{y_M} = 9.\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {y_M} = 3 \in {y_M} \in \left( {\sqrt 8 ;5} \right)$