Một số bài toán viết phương trình đường thẳng

$P$ nằm trên $Oy$$\Rightarrow$ $P\left( {0;\,p} \right)$ mà $MNP$ vuông tại $M$$\Rightarrow$$\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MN}  = 0$.

Mà $\overrightarrow {MP}  = \left( { - 2;p - 1} \right),\overrightarrow {MN}  = \left( {1; - 3} \right)$ nên $\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MN}  = 0$ $\Leftrightarrow  - 2.1 + \left( {p - 1} \right).\left( { - 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow$ $- 2 - 3p + 3 = 0$ $\Leftrightarrow$$p = \dfrac{1}{3}$.

$\Rightarrow P\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right)$ $\Rightarrow MP = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{3} - 1} \right)}^2}}$ $= \dfrac{{2\sqrt {10} }}{3}$, $MN = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10}$

$\Rightarrow$$S = \dfrac{1}{2}\dfrac{{2\sqrt {10} }}{3}\sqrt {10}  = \dfrac{{10}}{3}$.

Đặt $F\left( {x,y} \right) = 2x - y - 1$

Thay $P\left( {6;1} \right)$ vào $F\left( {x;y} \right)$ $\Rightarrow 2.6 - 1 - 1 = 10$

Thay $Q\left( { - 3; - 2} \right)$ vào $F\left( {x;y} \right)$ $\Rightarrow 2.\left( { - 3} \right) - \left( { - 2} \right) - 1 =  - 5$.

Suy ra $P,Q$ nằm về hai phía của đường thẳng $\Delta$.

Ta có $MP + MQ$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M,P,Q$ thẳng hàng

$\Leftrightarrow \overrightarrow {PQ}$ cùng phương $\overrightarrow {PM}$.

Gọi $M\left( {x;2x - 1} \right) \in \Delta$, khi đó $\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 9; - 3} \right),\overrightarrow {PM}  = \left( {x - 6;2x - 2} \right)$

$\overrightarrow {PQ}$ cùng phương $\overrightarrow {PM}$$\Leftrightarrow \dfrac{{x - 6}}{{ - 9}} = \dfrac{{2x - 2}}{{ - 3}}$ $\Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y =  - 1$ $\Rightarrow M\left( {0; - 1} \right)$

Dễ thấy điểm $A\left( {\dfrac{4}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$ không thuộc hai đường phân giác $x - 2y - 1 = 0$ và $x + 3y - 1 = 0$. Suy gọi $CF:x - 2y - 1 = 0$, $BE:x + 3y - 1 = 0$ lần lượt là phương trình đường phân giác xuất phát từ đỉnh $C$, $B$(như hình vẽ trên).

Gọi $d$ là đường thẳng qua $A\left( {\dfrac{4}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$ và vuông góc với $BE$ thì $d$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {3; - 1} \right)$ nên có phương trình $3\left( {x - \dfrac{4}{5}} \right) - \left( {y - \dfrac{7}{5}} \right) = 0 \Leftrightarrow$$3x - y - 1 = 0$. Tọa độ điểm $M = d \cap BE$ thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 1 = 0\\x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{5}\\y = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Rightarrow$$M\left( {\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}} \right)$.

Suy ra tọa độ điểm đối xứng với $A\left( {\dfrac{4}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$ qua $M\left( {\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}} \right)$ là $A'\left( {0; - 1} \right)$ thì $A' \in BC$$\left( 1 \right)$.

Gọi $d'$ là đường thẳng qua $A\left( {\dfrac{4}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$ và vuông góc với $CF$ thì $d'$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_{d'}}}  = \left( {2;1} \right)$ nên có phương trình $2\left( {x - \dfrac{4}{5}} \right) + \left( {y - \dfrac{7}{5}} \right) = 0 \Leftrightarrow$$2x + y - 3 = 0$. Tọa độ điểm $N = d' \cap CF$ thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 3 = 0\\x - 2y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{5}\\y = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Rightarrow$$N\left( {\dfrac{7}{5};\dfrac{1}{5}} \right)$.

Suy ra tọa độ điểm đối xứng với $A\left( {\dfrac{4}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$ qua $N\left( {\dfrac{7}{5};\dfrac{1}{5}} \right)$ là $A''\left( {2; - 1} \right)$ thì $A'' \in BC$$\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $\overrightarrow {A'A''}  = \left( {2;0} \right)$ là một VTCP của $BC$ suy ra VTPT của $BC$ là $\overrightarrow n  = \left( {0;1} \right)$. Do đó phương trình cạnh $BC:0\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow$ $y + 1 = 0$.

Tham số $t$ ứng với giao điểm của $d$ và ${d^\prime }$ là nghiệm của phương trình

$2\left( {1 + 2t} \right) + \left( {3 - t} \right) - 8 = 0$$\Leftrightarrow$$t = 1$. Khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.$$\Rightarrow$$I\left( {3;{\rm{ }}2} \right)$$\Rightarrow$$a + b = 5$.

Bước 1: Gọi M’ là điểm đối xứng của M  qua d. Viết phương trình MM’.

$\overrightarrow n  = \left( {2;\,1} \right)$ là một VTPT của d

Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua d $\Rightarrow MM' \bot d$

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 1;2} \right)$ là một VTPT của MM’

$\Rightarrow$ Phương trình MM’: $- 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 2y - 3 = 0$

Bước 2: Tìm điểm I  là giao điểm của MM’ và d.

Gọi I là giao điểm của MM’ và d  $\Rightarrow$ Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y - 3 = 0\\2x + y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{5}\\y = \dfrac{{11}}{5}\end{array} \right.$ $\Rightarrow I\left( {\dfrac{7}{5};\dfrac{{11}}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MI}  = \left( {\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}} \right)$

Gọi $M'\left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM'}  = \left( {a - \dfrac{7}{5};b - \dfrac{{11}}{5}} \right)$

Bước 3: Từ $\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {IM'}$ để tìm M’.

Vì M’ là điểm đối xứng của M qua d $\Rightarrow$ M’ là điểm đối xứng của M qua I

$\Rightarrow \overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {IM'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - \dfrac{7}{5} = \dfrac{2}{5}\\b - \dfrac{{11}}{5} = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{9}{5}\\b = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {\dfrac{9}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)$

Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b.

Vì $A \in AB$ nên 4 = –a + b.

Vì $B \in AB$ nên –7 = 2a + b.

Ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 4\\2a + b =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{{11}}{3}\\b = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$

Vậy phương trình đường thẳng AB là $y =  - \dfrac{{11}}{3}x + \dfrac{1}{3}$ $\Leftrightarrow 3y =  - 11x + 1$$\Leftrightarrow 11x + 3y - 1 = 0$.

Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {2; - 4} \right)$ hay $\dfrac{1}{2}\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)$ làm VTPT

 $\Rightarrow \left( d \right):x + 1 - 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0$ 

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {3; - 4} \right)$ là 1 VTPT của AB.

Đường thẳng AB đi qua A(-2;4) và nhận $\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {3; - 4} \right)$ làm VTPT nên có phương trình:

$3\left( {x + 2} \right) - 4\left( {y - 4} \right) = 0$ hay $3x - 4y + 22 = 0$.

Ta có đường thẳng $\left( d \right):3x + 5y - 15 = 0$ có : $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  = \left( {3;5} \right)\\A\left( {5;0} \right) \in d\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = \left( { - \dfrac{5}{3};1} \right)\\A\left( {5;0} \right) \in d\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - \dfrac{5}{3}t\\y = t\end{array} \right.$

Suy ra D đúng.

$\left( d \right):3x + 5y - 15 = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y = 15 \Leftrightarrow \dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{3} = 1$

Suy ra A đúng.

$\left( d \right):3x + 5y - 15 = 0 \Leftrightarrow  - 5y = 3x - 15 \Leftrightarrow y =  - \dfrac{3}{5}x + 3$

Suy ra B đúng.

Ta có $\left( \Delta  \right)//\left( d \right)x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow \left( \Delta  \right):x - 2y + c = 0\left( {c \ne 1} \right)$

Ta lại có $M\left( {1; - 1} \right) \in \left( \Delta  \right) \Rightarrow 1 - 2\left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 3$

Vậy $\left( \Delta  \right):x - 2y - 3 = 0$

Ta có $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 6;8} \right)$

Gọi $AA'$ là đường cao của tam giác $\Delta ABC$ $\Rightarrow AA'$ nhận $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  = \overrightarrow {BC}  = \left( { - 6;8} \right)\\A\left( {1; - 2} \right)\end{array} \right.$

Suy ra $AA': - 6\left( {x - 1} \right) + 8\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 6x + 8y + 22 = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y - 11 = 0$.

$P\left( {x;{\rm{ }}y} \right)$ là điểm trên trục hoành nên suy ra $P\left( {x;{\rm{ 0}}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MN}  = \left( { - 9;{\rm{ }}3} \right)$; $\overrightarrow {MP}  = \left( {x - 6;{\rm{ }} - 3} \right)$.

Ba điểm $M$, $N$, $P$ thẳng hàng khi $\overrightarrow {MP}  = k\overrightarrow {MN}$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x - 6 = k.\left( { - 9} \right)\\ - 3 = k.3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\k =  - 1\end{array} \right.$.

Vậy $P\left( {15;{\rm{ 0}}} \right)$, suy ra $x + y = 15$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {4; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;4} \right)$

Đường thẳng $\Delta  \bot d \Rightarrow \Delta$ nhận $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;4} \right)$ làm VTPT và đi qua $O\left( {0;0} \right)$.

Khi đó: $\left( \Delta  \right):3\left( {x - 0} \right) + 4\left( {y - 0} \right) = 0$ hay $3x+4y=0$

Gọi $M$ trung điểm $AB$ $\Rightarrow M\left( {1;1} \right)$

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {6; - 4} \right)$

Gọi $d$ là đường thẳng trung trực của $AB$.

Phương trình $d$ nhận $\overrightarrow n  = \left( {6; - 4} \right)$ làm VTPT và đi qua $M\left( {1;1} \right)$

Suy ra $\left( d \right):6\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 4y - 2 = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 1 = 0$

Gọi $M$ là trung điểm $AC$ $\Rightarrow M\left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)$ . $\overrightarrow {BM}  = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{5}{2}} \right)$

 $BM$ qua $B\left( {0;2} \right)$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {5; - 3} \right)$ làm VTPT $\Rightarrow BM:5x - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y + 6 = 0$

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {2;\, - 1} \right)$ và nhận $\overrightarrow u  = \left( { - 3;\,2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y =  - 1 + 2t\end{array} \right.$

Gọi $M\left( {2 + 3m;3 + m} \right)$ $\Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( {2 + 3m - 9} \right)}^2} + {{\left( {3 + m - 1} \right)}^2}}$ $= \sqrt {10{m^2} - 38m + 53}$

Theo YCBT ta có $AM = 5 \Leftrightarrow A{M^2} = 25$$\Leftrightarrow 10{m^2} - 38m + 53 = 25$ $\Leftrightarrow 10{m^2} - 38m + 28 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 \Rightarrow M\left( {5;4} \right)\\m = \dfrac{{14}}{5} \Rightarrow M\left( {\dfrac{{52}}{5};\dfrac{{29}}{5}} \right)\end{array} \right.$

Vậy có hai điểm $M$ thỏa YCBT.

Phương trình $AB:5x - 2y + 6 = 0$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {5;\; - 2} \right)$.

Phương trình $AC:4x + 7y - 21 = 0$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_{AC}}}  = \left( {4;\;7} \right)$.

Ta có $BH \bot AC$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_{BH}}} .\overrightarrow {{n_{AC}}}  = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {7;\; - 4} \right)$.

Suy ra phương trình đường thẳng $BH$ có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {7; - 4} \right)\\H\left( {1;1} \right)\end{array} \right.$.

$BH:7\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 7x - 4y - 3 = 0$.

Ta có điểm $B$ là giao điểm của hai đường thẳng $AB$ và $BH$, suy ra tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y + 6 = 0\\7x - 4y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 5\\y =  - \dfrac{{19}}{2}\end{array} \right.$ $\Rightarrow B\left( { - 5;\; - \dfrac{{19}}{2}} \right)$.

$A$ là giao điểm của $AB,AC$ thì $\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y + 6 = 0\\4x + 7y - 21 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;3} \right)$.

Phương trình cạnh $BC$ có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \overrightarrow {AH}  = \left( {1; - 2} \right)\\B\left( { - 5; - \dfrac{{19}}{2}} \right)\end{array} \right.$.

$\Rightarrow BC:x + 5 - 2\left( {y + \dfrac{{19}}{2}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x - 2y - 14 = 0$

Vậy $BC:x - 2y - 14 = 0$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6; - 4} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {2; - 3} \right)$

Đường thẳng $AB$ qua $A(-3;1)$ và nhận $\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {2; - 3} \right)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là: $2.(x+3)-3(y-1)=0$

$\Rightarrow \left( {AB} \right):2x - 3y =  - 9$

Ta có $\overrightarrow {CD}  = \left( {4;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{CD}}}  = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \left( {CD} \right):x - y =  - 6$

Gọi $N = AB \cap CD$

Suy ra tọa độ của $N$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y =  - 9\\x - y =  - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 9\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow N\left( { - 9; - 3} \right)$

Ta có: $M\left( { - 1;4} \right);N\left( {4; - 1} \right)$.

$MN$ đi qua $M\left( { - 1;4} \right)$ và nhận $\overrightarrow {MN}  = \left( {5; - 5} \right)$ hay $\dfrac{1}{5}\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 1} \right)$ làm $VTCP$

$\Rightarrow MN:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 4 - t\end{array} \right.$