Một số bài toán viết phương trình đường thẳng

Gọi \(A \in Ox \Rightarrow A\left( {{x_A};0} \right);B \in Oy \Rightarrow B\left( {0;{y_B}} \right)\)

Ta có \(M\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 10\\{y_B} =  - 6\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( {AB} \right):\dfrac{x}{{10}} + \dfrac{y}{{ - 6}} = 1 \Leftrightarrow 3x - 5y - 30 = 0\).

Gọi \(\left( d \right)\) là đường thẳng đi qua \(A\) và cách đều \(B,C\). Khi đó ta có các trường hợp sau

TH1: $d$ đi qua trung điểm của $BC$.

$I\left( {\dfrac{5}{2};2} \right)$ là trung điểm của $BC$.

$\overrightarrow {AI}  = \left( {\dfrac{3}{2};1} \right)$ là VTCP của đường thẳng $d$.

Khi đó \(\left( d \right): - 2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + 3y - 1 = 0\).

TH2: $d$ song song với $BC$, khi đó $d$ nhận $\overrightarrow {BC}  = \left( {1;4} \right)$ làm VTCP, phương trình đường thẳng \(\left( d \right): - 4\left( {x - 1} \right) + y - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow  - 4x + y + 3 = 0\).

Gọi \(AI\) là đường cao kẻ từ đỉnh \(A\). Gọi \({H_1}\) là trực tâm của \(\Delta ABC\), khi đó tọa độ điểm \({H_1}\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\x - y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{3}\\y =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)  .

\( \Rightarrow \overrightarrow {A{H_1}}  = \left( { - \dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3}} \right)\)

\(AI\) qua \({H_1}\left( {\dfrac{7}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {4;5} \right)\) làm VTPT

 \( \Rightarrow AI:4\left( {x - \dfrac{7}{3}} \right) + 5\left( {y + \dfrac{2}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 6 = 0\)

Phương trình đoạn chắn \(AB:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\)

Do \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(O\) \( \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = a\\b =  - a\end{array} \right.\)

TH1: \(b = a\) \( \Rightarrow \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{a} = 1 \Leftrightarrow x + y = a\) mà \(M\left( {2; - 3} \right) \in \left( {AB} \right) \Rightarrow 2 - 3 = a \Leftrightarrow a =  - 1 \Rightarrow b =  - 1\)

Vậy \(\left( {AB} \right):x + y + 1 = 0\)

TH2:  \(b =  - a\) \( \Rightarrow \dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{a} = 1 \Leftrightarrow x - y = a\) mà \(M\left( {2; - 3} \right) \in \left( {AB} \right) \Rightarrow 2 + 3 = a \Leftrightarrow a = 5 \Rightarrow b =  - 5\)

Vậy \(\left( {AB} \right):x - y - 5 = 0\)

Ta có $C \in \Delta  \Rightarrow C\left( {1 + t,2 + t} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CA}  = \left( { - 2 - t; - t} \right)\\\overrightarrow {CB}  = \left( {2 - t; - 1 - t} \right)\end{array} \right.$

Ta có \(\Delta ACB\) cân tại \(C\) \( \Leftrightarrow C{A^2} = C{B^2} \Leftrightarrow {\left( { - 2 - t} \right)^2} + {\left( { - t} \right)^2} = {\left( {2 - t} \right)^2} + {\left( { - 1 - t} \right)^2} \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{6}\)

Suy ra \(C\left( {\dfrac{7}{6};\dfrac{{13}}{6}} \right)\).

Ta thấy: \(\left( {2.1 - 6 - 1} \right)\left( {2.\left( { - 3} \right) - \left( { - 4} \right) - 1} \right) > 0\) nên \(P,Q\) cùng phía so với \(\Delta \).

Ta có \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 4; - 10} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{PQ}}}  = \left( {10; - 4} \right)\)

Suy ra phương trình \(PQ:5x - 2y + 7 = 0\)

Ta có \(\left| {NP - NQ} \right| \le PQ\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(N,P,Q\) thẳng hàng

Ta có \(N = PQ \cap \Delta \)

\( \Rightarrow N\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y + 7 = 0\\2x - y - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 9\\y =  - 19\end{array} \right. \Rightarrow N\left( { - 9; - 19} \right)\)

Ta có phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) ( theo giả thiết ta có \(a > 0,{\mkern 1mu} b > 0\))

Do \(d\) đi qua \(M\left( {4;{\rm{ 1}}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1\)

Mặt khác diện tích của tam giác vuông \(ABO\) là \({S_{ABO}} = \dfrac{1}{2}ab\)

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số $\dfrac{4}{a}$ và $\dfrac{1}{b}$ ta có \(1 = \dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{a}.\dfrac{1}{b}}  = \dfrac{4}{{\sqrt {ab} }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt {ab}  \ge 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ab \ge 8\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{4}{a} = \dfrac{1}{b}$

Vậy diện tích của tam giác vuông \(ABO\) nhỏ nhất bằng \(8\) khi \(a\), \(b\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{a} = \dfrac{1}{b}\\\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a - 4b = 8 - 4.2 = 0\).

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(AC\) suy ra \(M\left( {2;\dfrac{5}{2}} \right).\)

Phương trình đường trung tuyến \(BM\) đi qua hai điểm \(B\left( {5;0} \right)\) và \(M\left( {2;\dfrac{5}{2}} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 5}}{{2 - 5}} = \dfrac{y}{{\dfrac{5}{2}}} \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}\left( {x - 5} \right) =  - 3y\\ \Leftrightarrow 5x - 25 + 6y = 0 \Leftrightarrow 5x + 6y - 25 = 0.\end{array}\)

Điểm\(N\) thuộc đường trung tuyến \(BM\) của \(\Delta ABC\) và có hoành độ bằng \( - 1\)

\( \Rightarrow 5.\left( { - 1} \right) + 6{y_N} - 25 = 0 \Rightarrow {y_N} = 5.\)