Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $M\left( {4;{\rm{ 1}}} \right)$, đường thẳng $d$ qua $M$, $d$ cắt tia $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A\left( {a;{\rm{ 0}}} \right)$, $B\left( {0;{\rm{ }}b} \right)$ sao cho tam giác $ABO$ ($O$ là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất. Giá trị $a - 4b$ bằng

Ta có phương trình đường thẳng $d$ có dạng: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ ( theo giả thiết ta có $a > 0,{\mkern 1mu} b > 0$)

Do $d$ đi qua $M\left( {4;{\rm{ 1}}} \right)$ nên ta có $\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1$

Mặt khác diện tích của tam giác vuông $ABO$ là ${S_{ABO}} = \dfrac{1}{2}ab$

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số $\dfrac{4}{a}$ và $\dfrac{1}{b}$ ta có $1 = \dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{a}.\dfrac{1}{b}}  = \dfrac{4}{{\sqrt {ab} }}$$\Leftrightarrow \sqrt {ab}  \ge 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ab \ge 8$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{4}{a} = \dfrac{1}{b}$

Vậy diện tích của tam giác vuông $ABO$ nhỏ nhất bằng $8$ khi $a$, $b$ thỏa mãn hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{a} = \dfrac{1}{b}\\\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 2\end{array} \right.$$\Rightarrow a - 4b = 8 - 4.2 = 0$.