Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $M\left( {1;2} \right)$ và đường thẳng $d:2x + y - 5 = 0$. Toạ độ của điểm đối xứng với điểm $M$ qua $d$ là

Bước 1: Gọi M’ là điểm đối xứng của M  qua d. Viết phương trình MM’.

$\overrightarrow n  = \left( {2;\,1} \right)$ là một VTPT của d

Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua d $\Rightarrow MM' \bot d$

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 1;2} \right)$ là một VTPT của MM’

$\Rightarrow$ Phương trình MM’: $- 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 2y - 3 = 0$

Bước 2: Tìm điểm I  là giao điểm của MM’ và d.

Gọi I là giao điểm của MM’ và d  $\Rightarrow$ Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y - 3 = 0\\2x + y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{5}\\y = \dfrac{{11}}{5}\end{array} \right.$ $\Rightarrow I\left( {\dfrac{7}{5};\dfrac{{11}}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MI}  = \left( {\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}} \right)$

Gọi $M'\left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM'}  = \left( {a - \dfrac{7}{5};b - \dfrac{{11}}{5}} \right)$

Bước 3: Từ $\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {IM'}$ để tìm M’.

Vì M’ là điểm đối xứng của M qua d $\Rightarrow$ M’ là điểm đối xứng của M qua I

$\Rightarrow \overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {IM'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - \dfrac{7}{5} = \dfrac{2}{5}\\b - \dfrac{{11}}{5} = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{9}{5}\\b = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {\dfrac{9}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)$