Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {1;2} \right)\) và đường thẳng \(d:2x + y - 5 = 0\). Toạ độ của điểm đối xứng với điểm \(M\) qua \(d\) là

Bước 1: Gọi M’ là điểm đối xứng của M  qua d. Viết phương trình MM’.

\(\overrightarrow n  = \left( {2;\,1} \right)\) là một VTPT của d

Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua d \( \Rightarrow MM' \bot d\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 1;2} \right)\) là một VTPT của MM’

\( \Rightarrow \) Phương trình MM’: \( - 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 2y - 3 = 0\)

Bước 2: Tìm điểm I  là giao điểm của MM’ và d.

Gọi I là giao điểm của MM’ và d  \( \Rightarrow \) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y - 3 = 0\\2x + y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{5}\\y = \dfrac{{11}}{5}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {\dfrac{7}{5};\dfrac{{11}}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MI}  = \left( {\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}} \right)\)

Gọi \(M'\left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM'}  = \left( {a - \dfrac{7}{5};b - \dfrac{{11}}{5}} \right)\)

Bước 3: Từ \(\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {IM'} \) để tìm M’.

Vì M’ là điểm đối xứng của M qua d \( \Rightarrow \) M’ là điểm đối xứng của M qua I

\( \Rightarrow \overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {IM'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - \dfrac{7}{5} = \dfrac{2}{5}\\b - \dfrac{{11}}{5} = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{9}{5}\\b = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {\dfrac{9}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)\)