Cho tam giác $ABC$ có $A\left( { - 2;7} \right)$; $B\left( {3;5} \right)$; $C\left( {1; - 4} \right)$. Biết rằng trực tâm của tam giác $ABC$ là điểm $H\left( {\dfrac{a}{m};\dfrac{b}{n}} \right)$, với $\min T = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$, $b$, $P = {x_1}{x_2} = - \dfrac{1}{2}$, $n$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{m}$, $\dfrac{b}{n}$ là các phân số tối giản. Tính $T = \dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{n}.$

Đường cao $AH$ của $\Delta ABC$ qua $A\left( { - 2;7} \right)$ và nhận $\overrightarrow {CB}  = \left( {2;9} \right)$ làm VTPT nên có phương trình: $2\left( {x + 2} \right) + 9\left( {y - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 9y - 59 = 0$.

Đường cao $BH$ của $\Delta ABC$ qua $B\left( {3;5} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 11} \right)$ làm VTPT nên có phương trình là $3\left( {x - 3} \right) - 11\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 11y + 46 = 0$.

Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 9y - 59 = 0\\3x - 11y + 46 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{235}}{{49}}\\y = \dfrac{{269}}{{49}}\end{array} \right.$.

Vậy $T = \dfrac{{72}}{7}$.