Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { - 2;7} \right)\); \(B\left( {3;5} \right)\); \(C\left( {1; - 4} \right)\). Biết rằng trực tâm của tam giác \(ABC\) là điểm \(H\left( {\dfrac{a}{m};\dfrac{b}{n}} \right)\), với \(\min T = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), \(b\), $P = {x_1}{x_2} = - \dfrac{1}{2}$, $n$ là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{m}\), \(\dfrac{b}{n}\) là các phân số tối giản. Tính \(T = \dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{n}.\)

Đường cao \(AH\) của \(\Delta ABC\) qua \(A\left( { - 2;7} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {CB}  = \left( {2;9} \right)\) làm VTPT nên có phương trình: \(2\left( {x + 2} \right) + 9\left( {y - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 9y - 59 = 0\).

Đường cao \(BH\) của \(\Delta ABC\) qua \(B\left( {3;5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 11} \right)\) làm VTPT nên có phương trình là \(3\left( {x - 3} \right) - 11\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 11y + 46 = 0\).

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 9y - 59 = 0\\3x - 11y + 46 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{235}}{{49}}\\y = \dfrac{{269}}{{49}}\end{array} \right.\).

Vậy \(T = \dfrac{{72}}{7}\).